Advertisements
Advertisements
प्रश्न
अवकल समीकरण `(1 + y^2) + (x - "e"^(tan - 1y)) "dy"/"dx"` = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
दिया गया समीकरण `(1 + "y"^2) + (x - "e"^(tan^(-1) "y")) "dy"/"dx"` = 0 है।
⇒ `(x - "e"^(tan^-1"y")) "dy"/"dx" = -(1 + "y"^2)`
⇒ `"dy"/"dx" = (-(1 + "y"^2))/(x - "e"^(tan^-1 "y"))`
⇒ `"dx"/"dy" = (x - "e"^(tan^-1"y"))/(-(1 + "y"^2))`
⇒ `"dx"/"dy" = - x/((1 + "y"^2)) + ("e"^(tan^-1"y"))/(1 + "y"^2)`
⇒ `"dx"/"dy" + x/((1 + "y"^2)) = ("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2)`
यहाँ, P = `1/(1 + "y"^2)` तथा Q = `("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2)`
∴ समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdy")`
= `"e"^(int 1/(1 + "y"^2) "dy")`
= `"e"^(tan^-1 "y")`
∴ हल `x . "I"."F". = int "Q". "I"."F". "dy" + "c"` है।
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = int ("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2) * "e"^(tan^-1 "y") "dy" + "c"`
`"e"^(tan^-1 "y")` = t रखिए
∴ `"e"^(tan^-1 "y") * 1/(1 + "y"^2) "dy"` = dt
∴ `x . "e"^(tan^-1 "y") = int "t" . "dt" + "c"`
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = 1/2 "t"^2 + "c"`
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = 1/2 ("e"^(tan^-1 "y"))^2 + "c"`
⇒ x = `1/2 ("e"^(tan^-1 "y")) + "c"/("e"^(tan^-1 "y"))`
⇒ 2x = `"e"^(tan^-1 "y") + (2"c")/("e"^(tan^-1 "y")`
⇒ `2x . "e"^(tan^-1 "y") = ("e"^(tan^-1"y"))^2 + 2"c"`
इसलिए, यह वाँछित सामान्य हल है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`x log x dy/dx + y = 2/x log x`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`x "dy"/"dx" + y - x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx - 3 y cot x = sin 2x; y = 2` यदि x = `pi/2`
अवकल समीकरण `(1 - y^2) dy/dx + yx = ay (-1 < y < 1)` का समाकलन गुणक है:
निम्नलिखित अवकल समीकरण में से कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
`(d^2y)/dx^2 + 5x(dy/dx)^2 - 6y = log x`
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" = y/x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`x^2 "dy"/"dx" - x"y" = 1 + cos("y"/x)`, x ≠ 0 तथा जब x = 1 तब y = `pi/2` है को हल कीजिए।
अवकल समीकरण `("d"^2y)/("d"x^2) + 3("dy"/"dx")^2 = x^2 log(("d"^2y)/("d"x^2))` की घात है
अवकल समीकरण `[1 + ("dy"/"dx")^2]^2 = ("d"^2y)/("d"x^2)` के क्रमशः कोटि और घात हैं
अवकल समीकरण `"dx"/x + "dy"/y` = 0 का हल है
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" - y` = cos x is ex का समाकलन गुणक ex है।
`"dy"/"dx"` = 2y–x का हल ज्ञात कीजिए।
उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाता है और अवकल समीकरण `(1 + x^2) "dy"/"dx" + 2x"y"` = 4x2 को संतुष्ट करता है।
अवकल समीकरण dy = cosx(2 – y cosecx) dx को हल कीजिए, दिया है कि x = `pi/2` तब y = 2 है।
`"y" + "d"/("d"x) (x"y") = x(sinx + logx)` को हल कीजिए।
`("dy")/("d"x) = cos(x + "y") + sin(x + "y")` को हल कीजिए [संकेत : x + y = z रखिए]
`("dy")/("d"x) -3"y" = sin2x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण `(("d"^2"y")/("d"x^2))^2 + (("dy")/("d"x))^2 = xsin(("dy")/("d"x))` की घात है
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^(1/4) + x^(1/5)` = 0, के कोटि और घात क्रमश: हैं
`("dy")/("d"x) = ("y" + 1)/(x - 1)`, जब y (1) = 2 है के हलों की संख्या है।
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" tanx - secx` = 0 का समाकलन गुणक है
y = aemx+ be–mx निम्न में से किस अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है
अवकल समीकरण `sqrt(1 + (("dy")/("d"x))^2)` = x की घात ______ है।
अवकल समीकरण `x("dy")/("d"x) + 2"y" = x^2` का हल ______ है।
अवकल समीकरण `("d"x)/("dy") + "P"_1x = "Q"_1` के समाकलन गुणक को `"e"^(int "P"_1"dy")` से लिखा जाता है।
`("d"x)/("dy") = "g"(x, "y")` जहाँ g (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, प्रकार के अवकल समीकरण को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन x = vy है।
वक्रों के कुल y = ex (Acosx + Bsinx) को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) - 2 ("dy")/("d"x) + 2"y"` = 0 है।
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) = (x + 2"y")/x` का हल x + y = kx2 है।
