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प्रश्न
`(1 + x^2) ("dy")/("d"x) + 2x"y" - 4x^2` = 0 का हल ______ है।
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उत्तर
`(1 + x^2) ("dy")/("d"x) + 2x"y" - 4x^2` = 0 का हल `underline(4/3 x^3/((1 + x^2)) + "c" (1 + x^2)^-1)` है।
व्याख्या:
दिया गया अवकल समीकरण `(1 + x^2) ("dy")/("d"x) + 2x"y" - 4x^2` = 0 है।
⇒ `("dy")/("d"x) + (2x"y")/(1 + x^2) = (4x^2)/(1 + x^2)`
क्योंकि यह एक रैखिक अवकल समीकरण है।
∴ P = `(2x)/(1 + x^2)` और Q = `(4x^2)/(1 + x^2)`
समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdx")`
= `"e"^(int (2x)/(1 + x^2) "d"x)`
= `"e"^(log(1 + x^2))`
= `(1 + x^2)`
∴ हल `"y" xx "I"."F" = int "Q" xx "I"."F". "d"x + "c"` है।
⇒ `"y" xx (1 + x^2) = int (4x)/(1 + x^2) xx (1 + x^2)"d"x + "c"`
⇒ `"y" xx (1 + x^2) = int 4x^2 "d"x + "c"`
⇒ `"y" xx (1 + x^2) = 4/3 x^3 + "c"`
⇒ y = `4/3 x^3/((1 + x^2)) + "c"(1 + x^2)^-1`
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