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प्रश्न
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) = "e"^(x^2/2) + x"y"` का व्यापक हल है
विकल्प
`"y" = "ce"^((-x^2)/2) `
`"y" = "ce"^((x^2)/2) `
y = `(x + "c")"e"^((x^2)/2`
y = `("c" - x)"e"^((x^2)/2`
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उत्तर
सही उत्तर `underline("y" = (x + "c")"e"^((x^2)/2)` है।
व्याख्या:
दिया गया अवकलन समीकरण`("dy")/("d"x) = "e"^(x^2/2) + x"y"`
⇒ `("dy")/("d"x) - x"y" = "e"^((x^2)/2`
क्योंकि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
जहाँ P = –x और Q = `"e"^((x^2)/2`
∴ समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdx")`
= `"e"^(int -x "d"x)`
= `"e"^(- x^2/2)`
तो, हल `"y" xx "I"."F". = int "Q" xx "I"."F". "d"x + "c"` है।
⇒ `"y" xx "e"^( x^2/2) = int "e"^(x^2/2) "e"^(- x^2/2) "d"x + "c"`
⇒ `"y" xx "e"^(- x^2/2) = int "e"^0 "d"x + "c"`
⇒ `"y" xx "e"^(- x^2/2) = int 1 . "d"x + "c"`
⇒ `"y" xx "e"^(- x^2/2) = x + "c"`
∴ y = `(x + "c")"e"^(x^2/2)`.
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