Advertisements
Advertisements
प्रश्न
बिंदु (2, 1) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `(x^2 + "y"^2)/(2x"y")` है।
Advertisements
उत्तर
यह देखते हुए कि (x, y) पर एक वक्र के स्पर्शरेखा का ढलान `("dy")/("d"x) = (x^2 + "y"^2)/(2x"y")` है
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है
तो, y = vx रखिए
⇒ `("dy")/("d"x) = "v" + x * "dv"/"dx"`
`"v" + x * "dv"/"dx" = (x^2 + "v"^2x^2)/(2x * "v"x)`
⇒ `"v" + x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2)/(2"v")`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2)/(2"v") - "v"`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2 - 2"v"^2)/(2"v")`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 - "v"^2)/(2"v")`
⇒ `(2"v")/(1 - "v"^2) "dv" = ("d"x)/x`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int (2"v")/(1 - "v"^2) "dv" = int ("d"x)/x`
⇒ `-log|1 - "v"^2| = log x + log "c"`
⇒ `-log|1 - "y"^2/x^2| = logx + log"c"`
⇒ `-log|(x^2 - "y"^2)/x| = logx + log"c"`
⇒ `log|x^2/(x^2 - "y"^2)| = log|x"c"|`
⇒ `x^2/(x^2 - "y"^2)` = xc
क्योंकि वक्र बिंदु (2, 1) से होकर जा रहा है।
∴ `(2)^2/((2)^2 - (1)^2` = 2c
⇒ `4/3` = 2c
⇒ c = `2/3`
इसलिए, वाँछित समीकरण `x^2/(x^2 - "y"^2) = 2/3 x`
⇒ 2(x2 – y2) = 3x है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`cos^2 x dy/dx + y = tan x (0 <= x < pi/2)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`x "dy"/"dx" + y - x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
y dx + (x – y2)dy = 0
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2 y tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`
`x^2 "dy"/"dx" - x"y" = 1 + cos("y"/x)`, x ≠ 0 तथा जब x = 1 तब y = `pi/2` है को हल कीजिए।
बताइए कि समीकरण xdy – ydx = `sqrt(x^2 + "y"^2) "d"x` किस प्रकार का अवकल समीकरण है तथा इसे हल कीजिए।
दी गई त्रिज्या a के सभी वृत्तों के अवकल समीकरण की कोटि है
अवकल समीकरण `x "dt"/"dx" + 2"y"` = x2 का हल है
अवकल समीकरण tan x dx + tan y dy = 0 के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ______ है।
F(x, y) = `(sqrt(x^2 + y^2) + y)/x` का घात ______ है।
F(x, y) = `(x^2 + y^2)/(x - y)` कोटि 1 का समघातीय फलन है।
दिया है कि `"dy"/"dx" = "e"^-2x` और जब x = 5 तब y = 0 है। जब y = 3 है तब x का मान ज्ञात कीजिए।
ydx – xdy = x2 ydx को हल कीजिए।
अवकल समीकरण `(1 + y^2) + (x - "e"^(tan - 1y)) "dy"/"dx"` = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
`x ("dy")/("d"x) = "y" (log "y" – log x + 1)` को हल कीजिए।
अवकल समीकरण tany sec2 x dx + tanx sec2 ydy = 0 का हल है।
निम्न से कौन सा अवकल समीकरण कोटि 2 का है?
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" tanx - secx` = 0 का समाकलन गुणक है
y = aemx+ be–mx निम्न में से किस अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है
अवकल समीकरण `[1 + (("dy")/("d"x))^2] = ("d"^2"y")/("d"x^2)` की कोटि तथा घात क्रमश: है
वक्र कुल y2 = 4a(x + a) का अवकल समीकरण है
`("d"^2"y")/("d"x^2) - 2 ("dy")/("d"x) + "y"` = 0 का निम्त में से कौन सा व्यापक हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y"/x` = sec x का हल है
`("d"x)/("dy") = "g"(x, "y")` जहाँ g (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, प्रकार के अवकल समीकरण को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन x = vy है।
वृत्तों के कुल x2 + (y – a)2 = a2 को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण की कोटि दो होगी।
