Question

बिंदु (1, 0) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `("y" - 1)/(x^2 + x)` है।

Answer 1

यह देखते हुए कि (x, y) पर वक्र के स्पर्शरेखा का ढलान है `("dy")/("d"x) = ("y" - 1)/(x^2 + x)`

⇒ `("dy")/("y" - 1) = ("d"x)/(x^2 + x)`

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

`int ("dy")/("y" - 1) = int ("d"x)/(x^2 + x)`

⇒ `int ("dy")/("y" - 1) = int ("d"x)/(x^2 + x + 1/4 - 1/4)`  ...[पूर्ण वर्ग बनाना]

⇒ `int ("dy")/("y" - 1) = int ("d"x)/((x + 1/2)^2 - (1/2)^2`

⇒ `log|"y" - 1| = 1/(2 xx 1/2) log|(x + 1/2 - 1/2)/(x + 1/2 + 1/2)|`

⇒ `log|"y" - 1| = log|x/(x + 1)| + log "c"`

⇒ `log|"y" - 1| = log|"c"(x/(x + 1))|`

∴ y – 1 = `("c"x)/(x + 1)` 

⇒ `("y" - 1)(x + 1)` = cx

क्योंकि रेखा बिंदु (1, 0) से होकर जा रही है, तो (0 – 1) (1 + 1) = c(1)

⇒ c = 2

इसलिए, वाँछित हल (y – 1)(x + 1) = 2x है।