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प्रश्न
बिंदु (1, 0) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `("y" - 1)/(x^2 + x)` है।
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उत्तर
यह देखते हुए कि (x, y) पर वक्र के स्पर्शरेखा का ढलान है `("dy")/("d"x) = ("y" - 1)/(x^2 + x)`
⇒ `("dy")/("y" - 1) = ("d"x)/(x^2 + x)`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int ("dy")/("y" - 1) = int ("d"x)/(x^2 + x)`
⇒ `int ("dy")/("y" - 1) = int ("d"x)/(x^2 + x + 1/4 - 1/4)` ...[पूर्ण वर्ग बनाना]
⇒ `int ("dy")/("y" - 1) = int ("d"x)/((x + 1/2)^2 - (1/2)^2`
⇒ `log|"y" - 1| = 1/(2 xx 1/2) log|(x + 1/2 - 1/2)/(x + 1/2 + 1/2)|`
⇒ `log|"y" - 1| = log|x/(x + 1)| + log "c"`
⇒ `log|"y" - 1| = log|"c"(x/(x + 1))|`
∴ y – 1 = `("c"x)/(x + 1)`
⇒ `("y" - 1)(x + 1)` = cx
क्योंकि रेखा बिंदु (1, 0) से होकर जा रही है, तो (0 – 1) (1 + 1) = c(1)
⇒ c = 2
इसलिए, वाँछित हल (y – 1)(x + 1) = 2x है।
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