Advertisements
Advertisements
Question
बिंदु (2, 1) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `(x^2 + "y"^2)/(2x"y")` है।
Advertisements
Solution
यह देखते हुए कि (x, y) पर एक वक्र के स्पर्शरेखा का ढलान `("dy")/("d"x) = (x^2 + "y"^2)/(2x"y")` है
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है
तो, y = vx रखिए
⇒ `("dy")/("d"x) = "v" + x * "dv"/"dx"`
`"v" + x * "dv"/"dx" = (x^2 + "v"^2x^2)/(2x * "v"x)`
⇒ `"v" + x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2)/(2"v")`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2)/(2"v") - "v"`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 + "v"^2 - 2"v"^2)/(2"v")`
⇒ `x * "dv"/"dx" = (1 - "v"^2)/(2"v")`
⇒ `(2"v")/(1 - "v"^2) "dv" = ("d"x)/x`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int (2"v")/(1 - "v"^2) "dv" = int ("d"x)/x`
⇒ `-log|1 - "v"^2| = log x + log "c"`
⇒ `-log|1 - "y"^2/x^2| = logx + log"c"`
⇒ `-log|(x^2 - "y"^2)/x| = logx + log"c"`
⇒ `log|x^2/(x^2 - "y"^2)| = log|x"c"|`
⇒ `x^2/(x^2 - "y"^2)` = xc
क्योंकि वक्र बिंदु (2, 1) से होकर जा रहा है।
∴ `(2)^2/((2)^2 - (1)^2` = 2c
⇒ `4/3` = 2c
⇒ c = `2/3`
इसलिए, वाँछित समीकरण `x^2/(x^2 - "y"^2) = 2/3 x`
⇒ 2(x2 – y2) = 3x है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`cos^2 x dy/dx + y = tan x (0 <= x < pi/2)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`(x + y) dy/dx = 1`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx - 3 y cot x = sin 2x; y = 2` यदि x = `pi/2`
अवकल समीकरण `(1 - y^2) dy/dx + yx = ay (-1 < y < 1)` का समाकलन गुणक है:
वक्रों के कुल y = Ae2x + B.e–2x के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल बिंदु के अतिरिक्त किसी अन्य बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `"y" + "y"/x` है।
बताइए कि समीकरण xdy – ydx = `sqrt(x^2 + "y"^2) "d"x` किस प्रकार का अवकल समीकरण है तथा इसे हल कीजिए।
दी गई त्रिज्या a के सभी वृत्तों के अवकल समीकरण की कोटि है
अवकल समीकरण tan x dx + tan y dy = 0 के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ______ है।
जब `("e"^(-2sqrt(x))/sqrt(x) - y/sqrt(x))("d"x)/("d"y) = 1(x ≠ 0)` को `"dy"/"dx" + "P"y` = Q, के रूप में लिखते हैं तब P = ______ है।
दीर्घ वृत्तों जिनका केंद्र मूल बिंदु पर तथा नाभियाँ x-अक्ष पर हैं को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण की कोटि 2 है।
`"dy"/"dx" + "y"` = 5 एक `"dy"/"dx" + "Py"` = Q प्रकार का अवकल समीकरण है परंतु इसे चर पृथक्करणीय विधि से भी हल कर सकते हैं।
`"dy"/"dx"` = 2y–x का हल ज्ञात कीजिए।
एक तल में सभी रेखाएँ जो ऊर्ध्वाधर नहीं हैं के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण `(x^2 - 1) "dy"/"dx" + 2x"y" = 1/(x^2 - 1)` को हल कीजिए।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + 2x"y"` = y को हल कीजिए।
ydx – xdy = x2 ydx को हल कीजिए।
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
Ax2 + By2 = 1 से A और B को विलुप्त करके अवकल समीकरण बनाइए।
अवकल समीकरण xdy – ydx = 0 का हल निरूपित करता है एक ______
अवकल समीकरण `cosx ("dy")/("d"x) + "y"sinx` = 1 का समाकलन गुणक है।
`("dy")/("d"x) = ("y" + 1)/(x - 1)`, जब y (1) = 2 है के हलों की संख्या है।
निम्न से कौन सा अवकल समीकरण कोटि 2 का है?
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" tanx - secx` = 0 का समाकलन गुणक है
`("dy")/("d"x) = 2x"e"^(x^2 - "y")` का व्यापक हल है
`("dy")/("d"x) + "y"/(xlogx) = 1/x` इस ______ प्रकार का समीकरण है।
`("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक ______ है।
वक्रों के कुल y = ex (Acosx + Bsinx) को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) - 2 ("dy")/("d"x) + 2"y"` = 0 है।
