Advertisements
Advertisements
Question
`("dy")/("d"x) -3"y" = sin2x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Advertisements
Solution
दिया गया समीकरण `("dy")/("d"x) -3"y" = sin2x` है।
यहाँ, P = –3 और Q = sin2x
∴ समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdx")`
= `"e"^(int-3"d"x)`
= `"e"^(-3x)`
∴ हल `"y" xx "I"."F". = int "Q" . "I"."F". "d"x + "c"` है।
⇒ `"y" . "e"^(-3x) = int sin2x . "e"^(-3x) "d"x + "c"`
मान लीजिए I = `int sin_"I" 2x . "e"_"II"^(-3x) "d"x`
⇒ I = `sin 2x . int "e"^(-3x)"d"x - int("D"(sin 2x) . int"e"^(-3x) "d"x)"d"x`
⇒ I = `sin 2x . "e"^(-3x)/(-3) - int 2 cos2x . "e"^(-3x)/(-3) "d"x`
⇒ I = `"e"^(-3x)/(-3) sin2x + 2/3 int cos_"I" 2x . "e"_"II"^(-3x) "d"x`
⇒ I = `"e"^(-3x)/(-3) sin 2x + 2/3 [cos 2x . int "e"^(-3x) "d"x - int["D" cos2x . int "e"^(-3x) "d"x]"d"x]`
⇒ I = `"e"^(-3x)/(-3) sin 2x + 2/3 [cos 2x . "e"^(-3x)/(-3) - 2sin 2x . "e"^(-3x)/(-3)]"d"x`
⇒ I = `"e"^(-3x)/(-3) sin 2x - 2/9 cos2x . "e"^(-3x) - 4/9 int sin 2x. "e"^(-3x) "d"x`
⇒ `"e"^(-3x)/(-3) sin2x - 2/9 "e"^(-3x) cos 2x - 4/9 "I"`
⇒ `"I" + 4/9 "I" = "e"^(-3x)/(-3) sin 2x - 2/9 "e"^(-3x) cos 2x`
⇒ `13/9 "I" = - 1/9 [3"e"^(-3x) sin2x + 2"e"^(-3x) cos2x]`
⇒ I = `- 1/13 "e"^(-3x) [3 sin 2x + 2 cos2x]`
∴ समीकरण `"y" "e"^(-3x) = - 1/13 "e"^(-3x) [3 sin 2x + 2 cos 2x] + "c"` हो जाता है।
∴ y = `- 1/13 [3 sin 2x + 2 cos 2x] + "c" . "e"^(3x)`
इसलिए, वाँछित हल y = `-[(3sin2x + 2cos2x)/13] + "c" . "e"^(3x)` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1; यदि x = 1
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`(1 + x^2) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x^2); y = 0` यदि x = 1
अवकल समीकरण `(1 - y^2) dy/dx + yx = ay (-1 < y < 1)` का समाकलन गुणक है:
मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण `"dx"/x + "dy"/y` = 0 का हल है
अवकल समीकरण `x "dt"/"dx" + 2"y"` = x2 का हल है
अवकल समीकरण tan x dx + tan y dy = 0 के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ______ है।
अवकल समीकरण `"dx"/"dy" = (x^2 log(x/y) - x^2)/(xy log(x/y))` को हल करने के लिए उपयुक्त प्रतिस्थापन ______ है।
जब `("e"^(-2sqrt(x))/sqrt(x) - y/sqrt(x))("d"x)/("d"y) = 1(x ≠ 0)` को `"dy"/"dx" + "P"y` = Q, के रूप में लिखते हैं तब P = ______ है।
F(x, y) = `("y"cos("y"/x) + x)/(xcos("y"/x))` समघातीय फलन नहीं है।
अवकल समीकरण `"y"^2 "dy"/"dx" + "y"^2 + 1` = 0 का एक हल x + y = tan–1y है।
अवकल समीकरण `(x^2 - 1) "dy"/"dx" + 2x"y" = 1/(x^2 - 1)` को हल कीजिए।
`x^2 "dy"/"dx"` = x2 + xy + y2 को हल कीजिए।
अवकल समीकरण `(1 + y^2) + (x - "e"^(tan - 1y)) "dy"/"dx"` = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
अवकल समीकरण dy = cosx(2 – y cosecx) dx को हल कीजिए, दिया है कि x = `pi/2` तब y = 2 है।
बिंदु (2, 1) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `(x^2 + "y"^2)/(2x"y")` है।
बिंदु (1, 0) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `("y" - 1)/(x^2 + x)` है।
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु P (x, y) से खींची गई स्पर्श रेखा, निर्देशांक अक्षों से A और B पर इस प्रकार मिलती है कि AB का मध्य बिंदु P है।
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^(1/4) + x^(1/5)` = 0, के कोटि और घात क्रमश: हैं
अवकल समीकरण `"y" ("dy")/("d"x) + "c"` निरूपित करता है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + (1 + "y"^2)/(1 + x^2)` का हल है
`("dy")/("d"x) = 2x"e"^(x^2 - "y")` का व्यापक हल है
समीकरण (2y – 1)dx – (2x + 3)dy = 0 का हल है
वक्र कुल y2 = 4a(x + a) का अवकल समीकरण है
`("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक ______ है।
`("d"x)/("dy") = "g"(x, "y")` जहाँ g (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, प्रकार के अवकल समीकरण को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन x = vy है।
`x("dy")/("d"x) = "y" + x tan "y"/x` का हल `sin("y"/x)` = cx है।
