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Question
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`x log x dy/dx + y = 2/x log x`
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Solution
दिया गया समीकरण
`x log x dy/dx + y = 2/x log x`
या `dy/dx + y/(x log x) = 1/x^2` ....(i)
`dy/dx + Py = Q` से तुलना करने पर,
`P = 1/(x log x)` और `Q = 2/x^2`
∴ `I.F. = e^(int P dx) = e^(int 1/(x log x)dx)`
`= e^(log(log x)) = log x`
अतः अभीष्ट हल
∴ `y × I.F. = int I.F. xx Q dx + C`
`=> y log x = 2 int 1/x^2 (log x) dx + C`
`=> y log x = 2 [log x (- 1/x) - int 1/x ((- 1)/x) dx] + C`
`=> y log x = (- 2)/x log x + 2 int 1/x^2 dx + C`
`=> y log x = (- 2)/x log x - 2/x + C`
⇒ y = log x = `(- 2)/x (1 + log |x|) + C`
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