Advertisements
Advertisements
Question
(1 + tany)(dx – dy) + 2xdy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Advertisements
Solution
दिया गया है कि: (1 + tan y)(dx – dy) + 2xdy = 0
⇒ (1 + tan y)dx – (1 + tan y)dy + 2xdy = 0
⇒ (1 + tan y)dx – (1 + tan y – 2x)dy = 0
⇒ `(1 + tan "y") "dx"/"dy" = (1 + tan "y" - 2x)`
⇒ `"dx"/"dy" = (1 + tan "y" - 2x)/(1 + tan "y")`
⇒ `"dx"/"dy" = 1 - (2x)/(1 + tan "y")`
⇒ `"dx"/"dy" + (2x)/(1 + tan "y")` = 1
यहाँ, P = `2/(1 + tan "y")` तथा Q = 1
समाकलन गुणक I.F.
= `"e"^(int 2/(1 + tan y) "dy")`
= `"e"^(int (2cos"y")/(sin"y" + cos"y")"dy")`
= `"e"^(int (sin"y" + cos"y" - sin"y" + cos"y")/((sin"y" + cos"y")) "dy"`
= `"e"^(int(1 + (cos"y" - sin"y")/(sin"y" + cos"y"))"dy")`
= `"e"^(int 1."dy") . "e"^(int(cos"y" - sin"y")/(siny + cos"y")"dy")`
= `"e"^"y" . "e"^(log(sin"y" + cos"y")`
= `"e"^"y" . (sin"y" + cos "y")`
तो, हल `x xx "I"."F". = int "Q" xx "I"."F". "dy" + "c"` है।
⇒ `x . "e"^"y" (sin"y" + cos"y") = int 1 . "e"^"y" (sin"y" + cos"y")"dy" + "c"`
⇒ `x . "e"^"y" (sin"y" + cos"y") = "e"^"y" . sin "y" + "c"` .....`["क्योंकि" int x^x "f"(x) + "f'"(x)]"d"x = "e"^x "f"(x) + "c"]`
⇒ `x(sin"y" + cos "y") = sin "y" + "c" . "e"^-"y"`
इसलिए, वाँछित हल `x(sin"y" + cos "y") = sin "y" + "c" . "e"^-y` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + y/x + x^2`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`xdy/dx + 2y = x^2 log x`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
(1 + x2)dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`(1 + x^2) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x^2); y = 0` यदि x = 1
निम्नलिखित अवकल समीकरण में से कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
`(d^2y)/dx^2 + 5x(dy/dx)^2 - 6y = log x`
वक्रों के कुल y = Ae2x + B.e–2x के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कौजिए जिसका किसी बिंदु P(x, y) से वक्र के अभिलंब की मूल बिंदु से लंबवत दूरी P से x-अक्ष की दूरी के बराबर है।
`x^2 "dy"/"dx" - x"y" = 1 + cos("y"/x)`, x ≠ 0 तथा जब x = 1 तब y = `pi/2` है को हल कीजिए।
दी गई त्रिज्या a के सभी वृत्तों के अवकल समीकरण की कोटि है
अवकल समीकरण `2x * "dy"/"dx" y` = 3 का हल किस कुल को निरूपित करता है?
अवकल समीकरण `x "dt"/"dx" + 2"y"` = x2 का हल है
अवकल समीकरण `"dx"/"dy" = (x^2 log(x/y) - x^2)/(xy log(x/y))` को हल करने के लिए उपयुक्त प्रतिस्थापन ______ है।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + y/x` = 1 का व्यापक हल ______ है।
जब `("e"^(-2sqrt(x))/sqrt(x) - y/sqrt(x))("d"x)/("d"y) = 1(x ≠ 0)` को `"dy"/"dx" + "P"y` = Q, के रूप में लिखते हैं तब P = ______ है।
अवकल समीकरण `sqrt(1 + ("d"^2y)/("d"x^2)) = x + "dy"/"dx"` की घात परिभाषित नहीं है।
यदि `(1 + "t")"dy"/"dt" - "ty"` = 1 का y(t) एक हल है और y(0) = – 1 है तो दिखाइए कि y(1) = `-1/2`
उन सभी वृत्तों के समीकरण का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाते हैं तथा केंद्र y-अक्ष पर स्थित है।
अवकल समीकरण `(1 + y^2) + (x - "e"^(tan - 1y)) "dy"/"dx"` = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`2("y" + 3) - x"y" "dy"/"dx"` = 0 को हल कीजिए जबकि y (1) = – 2 दिया है।
यदि y = e–x (Acosx + Bsinx) तब y एक हल है
अवकल समीकरण tany sec2 x dx + tanx sec2 ydy = 0 का हल है।
`("dy")/("d"x) = 2x"e"^(x^2 - "y")` का व्यापक हल है
`("dy")/("d"x) + "y" = "e"^-x`, y(0) = 0 का हल है
वक्र कुल y2 = 4a(x + a) का अवकल समीकरण है
`("d"x)/("d"x) + "P"_1x = "Q"_1` प्रकार के अवकल समीकरण का व्यापक हल ______ है।
`("dy")/("d"x) = "f"(x, "y")` जहाँ f (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन y = vx है।
