Advertisements
Advertisements
Question
(1 + tany)(dx – dy) + 2xdy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Advertisements
Solution
दिया गया है कि: (1 + tan y)(dx – dy) + 2xdy = 0
⇒ (1 + tan y)dx – (1 + tan y)dy + 2xdy = 0
⇒ (1 + tan y)dx – (1 + tan y – 2x)dy = 0
⇒ `(1 + tan "y") "dx"/"dy" = (1 + tan "y" - 2x)`
⇒ `"dx"/"dy" = (1 + tan "y" - 2x)/(1 + tan "y")`
⇒ `"dx"/"dy" = 1 - (2x)/(1 + tan "y")`
⇒ `"dx"/"dy" + (2x)/(1 + tan "y")` = 1
यहाँ, P = `2/(1 + tan "y")` तथा Q = 1
समाकलन गुणक I.F.
= `"e"^(int 2/(1 + tan y) "dy")`
= `"e"^(int (2cos"y")/(sin"y" + cos"y")"dy")`
= `"e"^(int (sin"y" + cos"y" - sin"y" + cos"y")/((sin"y" + cos"y")) "dy"`
= `"e"^(int(1 + (cos"y" - sin"y")/(sin"y" + cos"y"))"dy")`
= `"e"^(int 1."dy") . "e"^(int(cos"y" - sin"y")/(siny + cos"y")"dy")`
= `"e"^"y" . "e"^(log(sin"y" + cos"y")`
= `"e"^"y" . (sin"y" + cos "y")`
तो, हल `x xx "I"."F". = int "Q" xx "I"."F". "dy" + "c"` है।
⇒ `x . "e"^"y" (sin"y" + cos"y") = int 1 . "e"^"y" (sin"y" + cos"y")"dy" + "c"`
⇒ `x . "e"^"y" (sin"y" + cos"y") = "e"^"y" . sin "y" + "c"` .....`["क्योंकि" int x^x "f"(x) + "f'"(x)]"d"x = "e"^x "f"(x) + "c"]`
⇒ `x(sin"y" + cos "y") = sin "y" + "c" . "e"^-"y"`
इसलिए, वाँछित हल `x(sin"y" + cos "y") = sin "y" + "c" . "e"^-y` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`cos^2 x dy/dx + y = tan x (0 <= x < pi/2)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
(1 + x2)dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2 y tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`
`x^2 "dy"/"dx" - x"y" = 1 + cos("y"/x)`, x ≠ 0 तथा जब x = 1 तब y = `pi/2` है को हल कीजिए।
दी गई त्रिज्या a के सभी वृत्तों के अवकल समीकरण की कोटि है
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" (x log x) + y` = 2logx का समाकलन गुणक है
`"dy"/"dx" + "y"` = 5 एक `"dy"/"dx" + "Py"` = Q प्रकार का अवकल समीकरण है परंतु इसे चर पृथक्करणीय विधि से भी हल कर सकते हैं।
अवकल समीकरण `"y"^2 "dy"/"dx" + "y"^2 + 1` = 0 का एक हल x + y = tan–1y है।
ydx – xdy = x2 ydx को हल कीजिए।
उन सभी वृत्तों के समीकरण का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाते हैं तथा केंद्र y-अक्ष पर स्थित है।
अवकल समीकरण dy = cosx(2 – y cosecx) dx को हल कीजिए, दिया है कि x = `pi/2` तब y = 2 है।
Ax2 + By2 = 1 से A और B को विलुप्त करके अवकल समीकरण बनाइए।
अवकल समीकरण `(("d"^2"y")/("d"x^2))^2 + (("dy")/("d"x))^2 = xsin(("dy")/("d"x))` की घात है
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^(1/4) + x^(1/5)` = 0, के कोटि और घात क्रमश: हैं
अवकल समीकरण xdy – ydx = 0 का हल निरूपित करता है एक ______
y = aemx+ be–mx निम्न में से किस अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) = "e"^(x^2/2) + x"y"` का व्यापक हल है
`("dy")/("d"x) + "y" = "e"^-x`, y(0) = 0 का हल है
वक्र कुल y2 = 4a(x + a) का अवकल समीकरण है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) = "e"^(x - "y") + x^2 "e"^-"y"` का हल है
`("d"x)/("d"x) + "P"_1x = "Q"_1` प्रकार के अवकल समीकरण का व्यापक हल ______ है।
अवकल समीकरण `x("dy")/("d"x) + 2"y" = x^2` का हल ______ है।
अवकल समीकरण coty dx = xdy का हल ______ है।
`("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक ______ है।
अवकल समीकरण `("d"x)/("dy") + "P"_1x = "Q"_1` के समाकलन गुणक को `"e"^(int "P"_1"dy")` से लिखा जाता है।
`("d"x)/("dy") = "g"(x, "y")` जहाँ g (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, प्रकार के अवकल समीकरण को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन x = vy है।
द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ं
दो होती है।
