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प्रश्न
(1 + tany)(dx – dy) + 2xdy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
दिया गया है कि: (1 + tan y)(dx – dy) + 2xdy = 0
⇒ (1 + tan y)dx – (1 + tan y)dy + 2xdy = 0
⇒ (1 + tan y)dx – (1 + tan y – 2x)dy = 0
⇒ `(1 + tan "y") "dx"/"dy" = (1 + tan "y" - 2x)`
⇒ `"dx"/"dy" = (1 + tan "y" - 2x)/(1 + tan "y")`
⇒ `"dx"/"dy" = 1 - (2x)/(1 + tan "y")`
⇒ `"dx"/"dy" + (2x)/(1 + tan "y")` = 1
यहाँ, P = `2/(1 + tan "y")` तथा Q = 1
समाकलन गुणक I.F.
= `"e"^(int 2/(1 + tan y) "dy")`
= `"e"^(int (2cos"y")/(sin"y" + cos"y")"dy")`
= `"e"^(int (sin"y" + cos"y" - sin"y" + cos"y")/((sin"y" + cos"y")) "dy"`
= `"e"^(int(1 + (cos"y" - sin"y")/(sin"y" + cos"y"))"dy")`
= `"e"^(int 1."dy") . "e"^(int(cos"y" - sin"y")/(siny + cos"y")"dy")`
= `"e"^"y" . "e"^(log(sin"y" + cos"y")`
= `"e"^"y" . (sin"y" + cos "y")`
तो, हल `x xx "I"."F". = int "Q" xx "I"."F". "dy" + "c"` है।
⇒ `x . "e"^"y" (sin"y" + cos"y") = int 1 . "e"^"y" (sin"y" + cos"y")"dy" + "c"`
⇒ `x . "e"^"y" (sin"y" + cos"y") = "e"^"y" . sin "y" + "c"` .....`["क्योंकि" int x^x "f"(x) + "f'"(x)]"d"x = "e"^x "f"(x) + "c"]`
⇒ `x(sin"y" + cos "y") = sin "y" + "c" . "e"^-"y"`
इसलिए, वाँछित हल `x(sin"y" + cos "y") = sin "y" + "c" . "e"^-y` है।
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