Question

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1; यदि x = 1

Answer 1

दिया है, (x + y) dy + (x – y) dx = 0

`=> dy/dx = (y - x)/(y + x)`   ...(i)

∵ अंश व हर की घात समान हैं इसलिए यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।

∴ y = vx रखने पर,

`dy/dx = v + x (dv)/dx`    ...(समीकरण (i) में)

`=> v + x (dv)/dx = (vx - x)/(vx + x)`

`=> x (dv)/dx = (v - 1)/(v + 1) - v`

`x (dv)/dx = (v - 1 - v^2 - 1)/(v + 1)`

`= - (v^2 + 1)/(v + 1)`

`(v + 1)/(v^2 + 1)dv = - 1/x`dx

समाकलन करने पर,

`=> 1/2 int 2v/(v^2 + 1)dv + int 1/(v^2 + 1) dv = - int 1/x dx`

`1/2 log (v^2 + 1) + tan^-1 (v) = - log x + C`

log (v² + 1) + 2 tan^-1 (v) = - 2 log x + 2C

अतः v के स्थान पर `y/x` रखने पर

`log ((y^2 + x^2)/x^2) + 2 tan^-1 (y/x) = - log x^2 + 2C`

`log (x^2 + y^2) - log x^2 + 2 tan^-1 (y/x) = - log x^2 x + 2C`

`log (x^2 + y^2) + 2 tan^-1 (y/x) = 2C`    ....(ii)

दिया है y = 1 और x = 1

log (1² + 1²) + 2 tan^-1 (1) = 2C

log 2 + 2 tan^-1 (1) = 2C

2C = log 2 + 2 `xx pi/4 = log 2 + pi/2`

C की यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

`log (x^2 + y^2) + 2 tan^-1 (y/x) = pi/2 + log 2`