Question

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

`(1 + e^(x/y))dx + e^(x/y)(1 - x/y) dy = 0`

Answer 1

`(1 + e^(x/y))dx + e^(x/y)(1 - x/y) dy = 0`

`=> dx/dy = (e^(x/y)(x/y - 1))/(1 + e^(x/y)) = g(x/y)`     माना ...(i)

∵ समीकरण का दायाँ पक्ष `"g" (x/y)` के रूप में है इसलिए यह एक शून्य घात वाली समघातीय अवकल समीकरण है।

∴ x = vy रखने पर,

`dx/dy = v + y (dv)/dy`    ...(समीकरण (i) से)

`v + y (dv)/dy = (e^v(v - 1))/(1 + e^v)`

or  `y (dv)/dy = (e^v(v - 1))/(1 + e^v) - v`

`=> (ve^v - e^v - v - ve^v)/(1 + e^v)`

`=> ((1 + e^v)/(v + e^v))dv = - 1/y dy`

`= int(1 + e^v)/(v + e^v) dv = - int 1/y dy`

⇒ log |e^v + v| = - log |y| + C₁

⇒ log |(e^v + v)y| = C₁

⇒ |(e^v + v) y| = e^C₁

⇒ (e^v + v)y = ± e^C₁ = C  (माना)

⇒ `(e^(x/y) + x/y) y = C`

⇒ `y  e^(x/y) + x = C`

जो दिए गए, अंतर समीकरण का अभीष्ट सामान्य हल है।