Advertisements
Advertisements
प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
x dy - y dx = `sqrt(x^2 + y^2)` dx
Advertisements
उत्तर
`x dy - y dx = sqrt(x^2 + y^2) dx`,
जिसे `x dy/dx = y + sqrt (x^2 + y^2)` के रूप में लिखा जा सकता है।
या `dy/dx = y/x + sqrt (1 + (y/x)^2)` ....(1)
चूँकि R.H.S. का रूप `g(y/x)` है, अतः यह घात शून्य का एक समरूप फलन है।
अतः समीकरण (1) एक समरूप अवकल समीकरण है।
इसे हल करने के लिए, y = vx रखने पर,
⇒ `dy/dx = v + x (dv)/dx`
(1) में y और `dy/dx` का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
`v + x (dv)/dx = v + sqrt (1 + v^2)`
⇒ `x (dv)/dx = sqrt(1 + v^2)`
⇒ `dx/x = (dv)/sqrt(1 + v^2)`
⇒ `int dx/x = int (dv)/ sqrt(1 + v^2)`
⇒ `log x + log C_1 = log |v + sqrt (1+ v^2)|`
⇒ `log x + log C_1 = log |y/x + sqrt (1 + y^2/x^2)|`
⇒ `log C_1 x = log |y + sqrt (x^2 + y^2)| - log x`
⇒ `pm C_1 x^2 = y + sqrt (x^2 + y^2)`
⇒ `Cx^2 = y + sqrt (x^2 + y^2)`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
(x2 + xy) dy = (x2 + y2) dx
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
`y' = (x + y)/x`
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
(x - y) dy -(x + y) dx = 0
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
(x2 - y2) dx + 2xy dy = 0
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
`x^2 dy/dx = x^2 - 2y^2 + xy`
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
`{x cos (y/x) + y sin (y/x)} y dx = {y sin (y/x) - x cos (y/x)} x dy`
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
`x dy/dx - y + x sin (y/x) = 0`
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
`y dx + x log(y/x)dy - 2x dy = 0`
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
`(1 + e^(x/y))dx + e^(x/y)(1 - x/y) dy = 0`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`"dy"/"dx" - y/x + cosec (y/x) = 0;` y = 0 यदि x = 1
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`2xy + y^2 - 2x^2 dy/dx = 0`; y = 2 यदि x = 1
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है?
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2y = sin x`
मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
अवकल समीकरण `(y dx - x dy)/y = 0` का व्यापक हल है:
