Question

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`dy/dx + 2y = sin x`

Answer 1

दिया गया समीकरण है `dy/dx + 2y = sin x.`           ....(1)

जो `dy/dx + Py = Q` प्रकार का एक रैखिक समीकरण है।

यहाँ P = 2 और Q = sin x.

∴ `I.F. = e^(int Pdx) = e^(int2 dx) = e^(2x)`

∴ समाधान है `y .(I.F.) =int Q. (I. F.) dx + C`

`y. e^(2x) = int e^(2x) sin x  dx + C = I + C`         ....(2)

अब, `I = int e^(2x) sin x  dx`

`= e^(2x) (- cos x) - int 2e^(2x) (- cos x)  dx`   ...[भाग द्वारा एकीकृत]

`= -e^(2x) cos x + 2 int e^(2x)  cosx  dx`

पुनः भागों द्वारा एकीकृत करके,

`I = - e^(2x) cos x + 2 [e^(2x) sin x - int e^(2x) * 2 sin x  dx]`

`= I = - e^(2x) cos x + 2e^(2x) sin x - 4I`

⇒ 5I = e^2x (2 sin x - cos x)

⇒`I = (e^(2x))/5 (2 sin x - cos x)`            ....(3)

(3) का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है।

`y. e^(2x) = 1/5 e^(2x) (2 sin x - cos x) + C`

⇒ `y = 1/5 (2 sin x - cos x) + Ce^(-2x),`

जो आवश्यक समाधान है।