Question

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

`{x cos (y/x) + y sin (y/x)} y dx = {y sin (y/x) - x cos (y/x)} x dy`

Answer 1

दिया गया अवकल समीकरण

`{x cos (y/x) + y sin (y/x)} y dx = {y sin (y/x) - x cos (y/x)} x dy`

या `dy/dx = ({x cos (y/x) + y sin (y/x)} y)/({y sin (y/x) - x cos (y/x)} x)`

या `dy/dx = ((y/x) {cos (y/x) + y/x sin (y/x)})/({y/x sin (y/x) - cos (y/x)} x) = g (y/x)`         (माना)   .... (i)

अवकलन समीकरण का दायाँ पक्ष `g (y/x)` के रूप में है। इसलिए यह शून्य घात वाला सम घातीय अवकल समीकरण है।

∴ y = vx रखने पर,

v + x `(dv)/dx = ((cos v + v sin v) v)/(v sin v - cos v)`

⇒ x `(dv)/dx = (v cos v + v^2 sin v)/(v sin v - cos v) - v`

= v cos v + v² sin v

⇒ x `(dv)/dx = (- v^2 sin v + v cos v)/(v sin v - cos v)`

⇒ x `(dv)/dx = (2v cos v)/(v sin v - cos v)`

`= (v sin v - cos v)/(v cos v)  dv = 2/x  dx`

`= (tan v - 1/v) dv = 1/x  dx`

समाकलन करने पर,

log sec v - log v = 2 log x + log C

log `((sec v)/v)` = log x² = log C

log `((sec v)/v)` = log cx²

sec v = v. Cx²

अंत: v के स्थान पर `y/x` रखने पर

`sec (y/x) = (y/x). Cx^2`

`sec (y/x) = Cxy`

`xy  cos |y/x| = C`