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Question
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
`{x cos (y/x) + y sin (y/x)} y dx = {y sin (y/x) - x cos (y/x)} x dy`
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Solution
दिया गया अवकल समीकरण
`{x cos (y/x) + y sin (y/x)} y dx = {y sin (y/x) - x cos (y/x)} x dy`
या `dy/dx = ({x cos (y/x) + y sin (y/x)} y)/({y sin (y/x) - x cos (y/x)} x)`
या `dy/dx = ((y/x) {cos (y/x) + y/x sin (y/x)})/({y/x sin (y/x) - cos (y/x)} x) = g (y/x)` (माना) .... (i)
अवकलन समीकरण का दायाँ पक्ष `g (y/x)` के रूप में है। इसलिए यह शून्य घात वाला सम घातीय अवकल समीकरण है।
∴ y = vx रखने पर,
v + x `(dv)/dx = ((cos v + v sin v) v)/(v sin v - cos v)`
⇒ x `(dv)/dx = (v cos v + v^2 sin v)/(v sin v - cos v) - v`
= v cos v + v2 sin v
⇒ x `(dv)/dx = (- v^2 sin v + v cos v)/(v sin v - cos v)`
⇒ x `(dv)/dx = (2v cos v)/(v sin v - cos v)`
`= (v sin v - cos v)/(v cos v) dv = 2/x dx`
`= (tan v - 1/v) dv = 1/x dx`
समाकलन करने पर,
log sec v - log v = 2 log x + log C
log `((sec v)/v)` = log x2 = log C
log `((sec v)/v)` = log cx2
sec v = v. Cx2
अंत: v के स्थान पर `y/x` रखने पर
`sec (y/x) = (y/x). Cx^2`
`sec (y/x) = Cxy`
`xy cos |y/x| = C`
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