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Question
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
x2dy + (xy + y2) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
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Solution
दिया गया अवकल समीकरण
x2dy + (xy + y2) dx = 0
या `dy/dx = (- (xy + y^2))/x^2 = - (y/x) - (y/x)^2`
स्पष्टतः यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
∴ y = vx रखने पर,
`dy/dx = v + x dv/dx` ...(समीकरण (i) में)
`v + x dv/dx = - v - v^2`
`=> x dv/dx = - 2v - v^2`
`= - (2v + v^2)`
`=> dv/(v(v + 2)) = 1/x dx`
समाकलन करने पर,
`=> 1/2 int 1/v dv - 1/2 int 1/(v + 2) dv = - int 1/x dy`
`=> 1/2 [log v - log (v + 2)] = - log x + log C`
`=> log (v/(v + 2)) = 2 log (C/x)`
`=> log (v/(v + 2)) = log (C/x)^2`
`=> v/(v + 2) = (C/x)^2`
v के स्थान पर `y/x` रखने पर,
`(y/x)/(y/x + 2) = C^2/x^2`
x2y = C2(y + 2x) ...(ii)
दिया है, x = 1, y = 1 समीकरण (ii) में रखने पर,
1 = C2 (1 + 1) ⇒ C2 = `1/3`
C2 का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
`x^2y = 1/3(y + 2x)`
y + 2x = 3x2y
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