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Question
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
(x2 - y2) dx + 2xy dy = 0
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Solution
(x2 - y2) dx + 2xy dy = 0
जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,
`dy/dx = (y^2 - x^2)/(2 xy)`
`= ((y/x)^2 - 1)/(2 (y/x))` ....(1)
चूँकि R.H.S का रूप `g(y/x)` है, और इसलिए यह डिग्री शून्य का एक समरूप फलन है।
अतः समीकरण (1) एक समरूप अवकल समीकरण है।
⇒ `dy/dx = v + x (dv)/dx`, तो (1) बन जाता है,
`v + x (dv)/dx = (v^2 - 1)/(2v)`
⇒ `x (dv)/dx = (v^2 - 1)/(2v) - v`
⇒ `(2vdv)/(v^2 + 1) = -dx/x` ....(2)
दोनों पक्षों (2) को एकीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है।
log |v2 + 1| = - log |x| + C
⇒ log |(v2 + 1) x | = C
⇒ `log |(y^2 + x^2)/x| = C_1` ...`(∵ v = y/x)`
⇒ `|(y^2 + x^2)/x| = e^(C_(1))`
⇒ `(x^2 + y^2)/x =pm e^(C_(1)) = C`
⇒ `x^2 + y^2 = Cx`
जो दिए गए अंतर समीकरण का अभीष्ट सामान्य हल है।
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