Question

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

(x² + xy) dy = (x² + y²) dx

Answer 1

माना  `dy/dx = (x^2 + y^2)/(x^2 + xy) = f (xy)`            ..... (i)

अब f `(lamda x, lambda y) = (lambda^2 (x^2 + y^2))/(lambda^2 (x^2 + xy)) = lambda^0` f (x, y)

`therefore` F (x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन है।

अंत: दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।

अब y = vx

`dy/dx  = v + x  dv/dx`

तब समीकरण (i) से,

`V + x (dv)/dx = (x^2 + v^2 x^2)/(x^2 + vx^2)`

`=> x  (dv)/dx = (1 + v^2)/(1 + v) - v`

`x  (dv)/dx = (1 + v - v - v^2)/(1 + v)`

`x  (dv)/dx = (dv)/dx = (1 - v)/(1 + v)`

`=> (1 + v)/(1 - v)  dv = dx/x`

समाकलन करने पर,

`int (1 + v)/(1 - v)  dv   = int 1/x  dx`

`=>  int (-1 + 2/(1 - v)) dv  = int 1/x  dx`

⇒ - v - 2 log (1 - v) = log x + log C

⇒ - v = log Cx + 2 log (1 - v)

⇒ - v = log Cx + log (1 - v)²

Cx . (1 - v)² = e^-v

v के स्थान पर `y/x` रखने पर

C. x `((x - y)^2)/x^2 = e^(-y/x)`

`=> (x - y)^2 = Cxe^(-y/x)`