Question

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

(x² - y²) dx + 2xy dy = 0

Answer 1

(x² - y²) dx + 2xy dy = 0

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,

`dy/dx = (y^2 - x^2)/(2 xy)`

`= ((y/x)^2 - 1)/(2 (y/x))`                 ....(1)

चूँकि R.H.S का रूप `g(y/x)` है, और इसलिए यह डिग्री शून्य का एक समरूप फलन है।

अतः समीकरण (1) एक समरूप अवकल समीकरण है।

⇒ `dy/dx = v + x (dv)/dx`, तो (1) बन जाता है,

`v + x (dv)/dx = (v^2 - 1)/(2v)`

⇒ `x (dv)/dx = (v^2 - 1)/(2v) - v`

⇒ `(2vdv)/(v^2 + 1) = -dx/x`                 ....(2)

दोनों पक्षों (2) को एकीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है।

log |v² + 1| = - log |x| + C

⇒ log |(v² + 1) x | = C

⇒ `log |(y^2 + x^2)/x| = C_1`                 ...`(∵ v = y/x)`

⇒ `|(y^2 + x^2)/x| = e^(C_(1))`

⇒ `(x^2 + y^2)/x =pm  e^(C_(1)) = C` 

⇒ `x^2 + y^2 = Cx`

जो दिए गए अंतर समीकरण का अभीष्ट सामान्य हल है।