Question

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

`x dy/dx - y + x sin (y/x) = 0`

Answer 1

`x dy/dx - y + x sin (y/x) = 0`

`dy/dx = y/x - sin  y/x = g (y/x)`      (माना )      ....(i)

समीकरण का दायाँ पक्ष `g(y/x)` के रूप में हैं इसलिए यह एक शून्य घात वाली समघातीय अवकल समीकरण है।

∴y = vx  रखने पर,

`dy/dx = v + x dy/dx` समीकरण (i) से

`=> v + x (dv)/dx = v - sin v`

`=> x (dv)/dx = v  -  sin v - v`

`=> x (dv)/dx = - sin v`

`=> cosec  v  dv = - 1/x dx`

⇒ log |cosec v - cot v| 

= - log |x| + C₁

समाकलन करने पर,

⇒ log |(cosec v - cot v)| = C₁

⇒ |x (cosec v - cot v)| = e^C₁

⇒ x (cosec v - cot v) = ± e^C₁ = C           (say)

⇒ `x (cosec y/x - cot y/x) = C`

जो कि आवश्यक सामान्य समाधान है।