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प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2y = sin x`
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उत्तर
दिया गया समीकरण है `dy/dx + 2y = sin x.` ....(1)
जो `dy/dx + Py = Q` प्रकार का एक रैखिक समीकरण है।
यहाँ P = 2 और Q = sin x.
∴ `I.F. = e^(int Pdx) = e^(int2 dx) = e^(2x)`
∴ समाधान है `y .(I.F.) =int Q. (I. F.) dx + C`
`y. e^(2x) = int e^(2x) sin x dx + C = I + C` ....(2)
अब, `I = int e^(2x) sin x dx`
`= e^(2x) (- cos x) - int 2e^(2x) (- cos x) dx` ...[भाग द्वारा एकीकृत]
`= -e^(2x) cos x + 2 int e^(2x) cosx dx`
पुनः भागों द्वारा एकीकृत करके,
`I = - e^(2x) cos x + 2 [e^(2x) sin x - int e^(2x) * 2 sin x dx]`
`= I = - e^(2x) cos x + 2e^(2x) sin x - 4I`
⇒ 5I = e2x (2 sin x - cos x)
⇒`I = (e^(2x))/5 (2 sin x - cos x)` ....(3)
(3) का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है।
`y. e^(2x) = 1/5 e^(2x) (2 sin x - cos x) + C`
⇒ `y = 1/5 (2 sin x - cos x) + Ce^(-2x),`
जो आवश्यक समाधान है।
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