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प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
x dy - y dx = `sqrt(x^2 + y^2)` dx
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उत्तर
`x dy - y dx = sqrt(x^2 + y^2) dx`,
जिसे `x dy/dx = y + sqrt (x^2 + y^2)` के रूप में लिखा जा सकता है।
या `dy/dx = y/x + sqrt (1 + (y/x)^2)` ....(1)
चूँकि R.H.S. का रूप `g(y/x)` है, अतः यह घात शून्य का एक समरूप फलन है।
अतः समीकरण (1) एक समरूप अवकल समीकरण है।
इसे हल करने के लिए, y = vx रखने पर,
⇒ `dy/dx = v + x (dv)/dx`
(1) में y और `dy/dx` का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
`v + x (dv)/dx = v + sqrt (1 + v^2)`
⇒ `x (dv)/dx = sqrt(1 + v^2)`
⇒ `dx/x = (dv)/sqrt(1 + v^2)`
⇒ `int dx/x = int (dv)/ sqrt(1 + v^2)`
⇒ `log x + log C_1 = log |v + sqrt (1+ v^2)|`
⇒ `log x + log C_1 = log |y/x + sqrt (1 + y^2/x^2)|`
⇒ `log C_1 x = log |y + sqrt (x^2 + y^2)| - log x`
⇒ `pm C_1 x^2 = y + sqrt (x^2 + y^2)`
⇒ `Cx^2 = y + sqrt (x^2 + y^2)`
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