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प्रश्न
अवकल समीकरण `(1 + y^2) + (x - "e"^(tan - 1y)) "dy"/"dx"` = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
दिया गया समीकरण `(1 + "y"^2) + (x - "e"^(tan^(-1) "y")) "dy"/"dx"` = 0 है।
⇒ `(x - "e"^(tan^-1"y")) "dy"/"dx" = -(1 + "y"^2)`
⇒ `"dy"/"dx" = (-(1 + "y"^2))/(x - "e"^(tan^-1 "y"))`
⇒ `"dx"/"dy" = (x - "e"^(tan^-1"y"))/(-(1 + "y"^2))`
⇒ `"dx"/"dy" = - x/((1 + "y"^2)) + ("e"^(tan^-1"y"))/(1 + "y"^2)`
⇒ `"dx"/"dy" + x/((1 + "y"^2)) = ("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2)`
यहाँ, P = `1/(1 + "y"^2)` तथा Q = `("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2)`
∴ समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdy")`
= `"e"^(int 1/(1 + "y"^2) "dy")`
= `"e"^(tan^-1 "y")`
∴ हल `x . "I"."F". = int "Q". "I"."F". "dy" + "c"` है।
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = int ("e"^(tan^-1 "y"))/(1 + "y"^2) * "e"^(tan^-1 "y") "dy" + "c"`
`"e"^(tan^-1 "y")` = t रखिए
∴ `"e"^(tan^-1 "y") * 1/(1 + "y"^2) "dy"` = dt
∴ `x . "e"^(tan^-1 "y") = int "t" . "dt" + "c"`
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = 1/2 "t"^2 + "c"`
⇒ `x . "e"^(tan^-1 "y") = 1/2 ("e"^(tan^-1 "y"))^2 + "c"`
⇒ x = `1/2 ("e"^(tan^-1 "y")) + "c"/("e"^(tan^-1 "y"))`
⇒ 2x = `"e"^(tan^-1 "y") + (2"c")/("e"^(tan^-1 "y")`
⇒ `2x . "e"^(tan^-1 "y") = ("e"^(tan^-1"y"))^2 + 2"c"`
इसलिए, यह वाँछित सामान्य हल है।
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