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प्रश्न
`("dy")/("d"x) + "y" = "e"^-x`, y(0) = 0 का हल है
पर्याय
y = e–x (x – 1)
y = xex
y = xe–x + 1
y = xe–x
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उत्तर
सही उत्तर y = xe–x है।
व्याख्या:
दिया गया अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" = "e"^-x`
क्योंकि, यह एक रैखिक अवकल समीकरण है तो P = 1 और Q = `"e"^-x`
समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdx")`
= `"e"^(int 1. "d"x)`
= ex
∴ हल `"y" xx "I"."F" = int "Q" xx "I"."F". "d"x + "c"` है।
⇒ `"y" xx "e"^x = int"e"^-x xx "e"^x"d"x + "c"`
⇒ `"y" xx "e"^x = int "e"^0 "d"x + "c"`
⇒ `"y" xx "e"^x = int 1."d"x + "c"`
⇒ `"y" xx "e"^x = x + "c"`
y = 0 और x = 0 रखिए
∴ 0 = 0 + c
∴ c = 0
∴ समीकरण `"y" xx "e"^x` = x है।
तो y = `x"e"^-x`.
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