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प्रश्न
बताइए कि समीकरण xdy – ydx = `sqrt(x^2 + "y"^2) "d"x` किस प्रकार का अवकल समीकरण है तथा इसे हल कीजिए।
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उत्तर
दिए गए समीकरण xdy = `(sqrt(x^2 + y^2) + y) "d"x`
अर्थात, `"dy"/"dx" = (sqrt(x^2 + y^2) + y)/x` ......(1)
यह समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
समीकरण (1) में y = vx, रखने पर
`"v" + x "dv"/"dx" = (sqrt(x^2 + "v"^2 + x^2) + vx)/x`
अर्थात् `"v" + x "dv"/"dx" = sqrt(1 + "v"^2) + "v"`
`x "dv"/"dx" = sqrt(1 + "v"^2)`
⇒ `"dv"/sqrt(1 + "v"^2) = "dx"/x` ......(2)
(2) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
`log("v" + sqrt(1 + "v"^2))` = logx + logc
⇒ `"v" + sqrt(1 + "v"^2)` = cx
⇒ `y/x + sqrt(1 + y^2/x^2)` = cx
⇒ `y + sqrt(x^2 + y^2)` = cx2
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