Question

उन सभी वृत्तों के समीकरण का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाते हैं तथा केंद्र y-अक्ष पर स्थित है।

Answer 1

वृत्त का समीकरण जो मूल बिंदु से होकर जाता है और जिसका केंद्र y-अक्ष पर स्थित है

(x – 0)² + (y – a)² = a²

⇒ x² + y² + a² – 2ay = a²

⇒ x² + y² – 2ay = 0   ......(i)

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ `2x + 2"y" * "dy"/"dx" - 2"a" * "dy"/"dx"` = 0

⇒ `x + "y" "dy"/"dx" - "a" * "dy"/"dx"` = 0

⇒ `x + ("y" - "a") * "dy"/"dx"` = 0

`"y" - "a" = x/("dy"/"dx")`

a = `"y" + (-x)/("dy"/"dx")`

a का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है 

`x^2 + "y"^2 - 2("y" + x/("dy"/"dx"))"y"` = 0

⇒ `x^2 + "y"^2 - 2"y"^2 - (2x"y")/("dy"/"dx")` = 0

⇒ `x^2 - "y"^2 = (2x"y")/("dy"/"dx")`

∴ `(x^2 - "y"^2) "dy"/"dx" - 2x"y"` = 0

अत: वाँछित अवकल समीकरण `(x^2 - "y"^2) "dy"/"dx" - 2x"y"` = 0 है।