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प्रश्न
उन सभी वृत्तों के समीकरण का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाते हैं तथा केंद्र y-अक्ष पर स्थित है।
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उत्तर
वृत्त का समीकरण जो मूल बिंदु से होकर जाता है और जिसका केंद्र y-अक्ष पर स्थित है
(x – 0)2 + (y – a)2 = a2
⇒ x2 + y2 + a2 – 2ay = a2
⇒ x2 + y2 – 2ay = 0 ......(i)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ `2x + 2"y" * "dy"/"dx" - 2"a" * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x + "y" "dy"/"dx" - "a" * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x + ("y" - "a") * "dy"/"dx"` = 0
`"y" - "a" = x/("dy"/"dx")`
a = `"y" + (-x)/("dy"/"dx")`
a का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है
`x^2 + "y"^2 - 2("y" + x/("dy"/"dx"))"y"` = 0
⇒ `x^2 + "y"^2 - 2"y"^2 - (2x"y")/("dy"/"dx")` = 0
⇒ `x^2 - "y"^2 = (2x"y")/("dy"/"dx")`
∴ `(x^2 - "y"^2) "dy"/"dx" - 2x"y"` = 0
अत: वाँछित अवकल समीकरण `(x^2 - "y"^2) "dy"/"dx" - 2x"y"` = 0 है।
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निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2 y tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`
अवकल समीकरण `("d"^2y)/("d"x^2) + 3("dy"/"dx")^2 = x^2 log(("d"^2y)/("d"x^2))` की घात है
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जब `("e"^(-2sqrt(x))/sqrt(x) - y/sqrt(x))("d"x)/("d"y) = 1(x ≠ 0)` को `"dy"/"dx" + "P"y` = Q, के रूप में लिखते हैं तब P = ______ है।
अवकल समीकरण `sqrt(1 + ("d"^2y)/("d"x^2)) = x + "dy"/"dx"` की घात परिभाषित नहीं है।
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`("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक ______ है।
`("dy")/("d"x) = "f"(x, "y")` जहाँ f (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन y = vx है।
`x("dy")/("d"x) = "y" + x tan "y"/x` का हल `sin("y"/x)` = cx है।
एक तल में सभी अक्षतिज (रेखाएँ जो क्षैतिज नहीं हैं) सरल रेखाओं का अवकल
समीकरण `("d"^2x)/("dy"^2)` = 0 है।
