Advertisements
Advertisements
प्रश्न
उन सभी वृत्तों के समीकरण का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाते हैं तथा केंद्र y-अक्ष पर स्थित है।
Advertisements
उत्तर
वृत्त का समीकरण जो मूल बिंदु से होकर जाता है और जिसका केंद्र y-अक्ष पर स्थित है
(x – 0)2 + (y – a)2 = a2
⇒ x2 + y2 + a2 – 2ay = a2
⇒ x2 + y2 – 2ay = 0 ......(i)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ `2x + 2"y" * "dy"/"dx" - 2"a" * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x + "y" "dy"/"dx" - "a" * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x + ("y" - "a") * "dy"/"dx"` = 0
`"y" - "a" = x/("dy"/"dx")`
a = `"y" + (-x)/("dy"/"dx")`
a का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है
`x^2 + "y"^2 - 2("y" + x/("dy"/"dx"))"y"` = 0
⇒ `x^2 + "y"^2 - 2"y"^2 - (2x"y")/("dy"/"dx")` = 0
⇒ `x^2 - "y"^2 = (2x"y")/("dy"/"dx")`
∴ `(x^2 - "y"^2) "dy"/"dx" - 2x"y"` = 0
अत: वाँछित अवकल समीकरण `(x^2 - "y"^2) "dy"/"dx" - 2x"y"` = 0 है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1; यदि x = 1
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + y/x + x^2`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`x "dy"/"dx" + y - x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
y dx + (x – y2)dy = 0
अवकल समीकरण `(1 - y^2) dy/dx + yx = ay (-1 < y < 1)` का समाकलन गुणक है:
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + y/x` = x2 को हल कीजिए।
एक तल में सभी अक्षैतिज रेखाओं का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल बिंदु के अतिरिक्त किसी अन्य बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `"y" + "y"/x` है।
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कौजिए जिसका किसी बिंदु P(x, y) से वक्र के अभिलंब की मूल बिंदु से लंबवत दूरी P से x-अक्ष की दूरी के बराबर है।
`x^2 "dy"/"dx" - x"y" = 1 + cos("y"/x)`, x ≠ 0 तथा जब x = 1 तब y = `pi/2` है को हल कीजिए।
अवकल समीकरण `(1 + "dy"/"dx")^3 = (("d"^2y)/("d"x^2))^2` की घात है
अवकल समीकरण `"dx"/x + "dy"/y` = 0 का हल है
अवकल समीकरण `("dy"/"dx")^2 + (("d"^2y)/("d"x^2))^2` = 0 की घात ______ हैं।
`"dy"/"dx" + "y"` = 5 एक `"dy"/"dx" + "Py"` = Q प्रकार का अवकल समीकरण है परंतु इसे चर पृथक्करणीय विधि से भी हल कर सकते हैं।
यदि `(1 + "t")"dy"/"dt" - "ty"` = 1 का y(t) एक हल है और y(0) = – 1 है तो दिखाइए कि y(1) = `-1/2`
वह अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका व्यापक हल y = (sin–1x)2 + Acos–1x + B है जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं।
y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Ax2 + By2 = 1 से A और B को विलुप्त करके अवकल समीकरण बनाइए।
`("dy")/("d"x) -3"y" = sin2x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`x ("dy")/("d"x) = "y" (log "y" – log x + 1)` को हल कीजिए।
अवकल समीकरण xdy – ydx = 0 का हल निरूपित करता है एक ______
अवकल समीकरण `cosx ("dy")/("d"x) + "y"sinx` = 1 का समाकलन गुणक है।
अवकल समीकरण tany sec2 x dx + tanx sec2 ydy = 0 का हल है।
`("dy")/("d"x) - "y"` = 1 का हल जब, y(0) = 1 है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" tanx - secx` = 0 का समाकलन गुणक है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + (1 + "y"^2)/(1 + x^2)` का हल है
वक्र कुल x2 + y2 – 2ay = 0, जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है का अवकल समीकरण है
`("dy")/("d"x) + "y"` = sinx का व्यापक हल ______ है।
वृत्तों के कुल x2 + (y – a)2 = a2 को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण की कोटि दो होगी।
