Question

उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाता है और अवकल समीकरण `(1 + x^2) "dy"/"dx" + 2x"y"` = 4x² को संतुष्ट करता है।

Answer 1

दिया गया समीकरण `(1 + x^2) "dy"/"dx" + 2x"y"` = 4x² है।

⇒ `"dy"/"dx" + (2x)/(1 + x^2) * "y" = (4x^2)/(1 + x^2)`

यहाँ, P = `(2x)/(1 + x^2)` और Q = `(4x^2)/(1 + x^2)`

समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int "Pdx")`

= `"e"^(int (2x)/(1 + x^2) "dx")`

= `"e"^(log(1 + x^2)`

= 1 + x²

∴ हल `"y" xx "I"."F". = int "Q" xx "I"."F".  "d"x + "c"` है।

⇒ `"y"(1 + x^2) = int (4x^2)/(1 + x^2) xx (1 + x^2) "d"x + "c"`

⇒ `"y"(1 + x^2) = int 4x^2 "d"x + "c"`

⇒ `"y"(1 + x^2) = 4/3 x^3 + "c"`  ......(i)

क्योंकि वक्र मूल बिन्दु से होकर जा रहा है अर्थात (0, 0)

∴ समीकरण (i) में y = 0 और x = 0 रखें।

0(1 + 0) = `4/3(0)^3 + "c"`

⇒ C = 0

∴ समीकरण `"y"(1 + x^2) = 4/3 x^3` है।

⇒ y = `(4x^3)/(3(1 + x^2))`

अत: वाँछित हल y =  `(4x^3)/(3(1 + x^2))`.