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Question
उन सभी वृत्तों के समीकरण का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाते हैं तथा केंद्र y-अक्ष पर स्थित है।
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Solution
वृत्त का समीकरण जो मूल बिंदु से होकर जाता है और जिसका केंद्र y-अक्ष पर स्थित है
(x – 0)2 + (y – a)2 = a2
⇒ x2 + y2 + a2 – 2ay = a2
⇒ x2 + y2 – 2ay = 0 ......(i)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ `2x + 2"y" * "dy"/"dx" - 2"a" * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x + "y" "dy"/"dx" - "a" * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x + ("y" - "a") * "dy"/"dx"` = 0
`"y" - "a" = x/("dy"/"dx")`
a = `"y" + (-x)/("dy"/"dx")`
a का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है
`x^2 + "y"^2 - 2("y" + x/("dy"/"dx"))"y"` = 0
⇒ `x^2 + "y"^2 - 2"y"^2 - (2x"y")/("dy"/"dx")` = 0
⇒ `x^2 - "y"^2 = (2x"y")/("dy"/"dx")`
∴ `(x^2 - "y"^2) "dy"/"dx" - 2x"y"` = 0
अत: वाँछित अवकल समीकरण `(x^2 - "y"^2) "dy"/"dx" - 2x"y"` = 0 है।
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