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Question
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु P (x, y) से खींची गई स्पर्श रेखा, निर्देशांक अक्षों से A और B पर इस प्रकार मिलती है कि AB का मध्य बिंदु P है।
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Solution
मान लीजिए P (x, y) वक्र पर कोई बिंदु है और P पर दिए गए वक्र की स्पर्शरेखा AB है।
AB का मध्यबिंदु P है .....(दिया है)
∴ A और B के निर्देशांक क्रमशः (2x, 0) और (0, 2y) हैं।
∴ स्पर्श रेखा AB का ढाल = `(2"y" - 0)/(0 - 2x) = - "y"/x`
∴ `("dy")/("d"x) = - "y"/x`
⇒ `("dy")/"y" = -("d"x)/x`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int ("dy")/"y" = -int ("d"x)/x`
⇒ log y = – log x + log c
⇒ log y + log x = log c
⇒ log yx = log c
∴ yx = c
क्योंकि वक्र (1, 1) से होकर गुजरता है
∴ 1 × 1 = c
∴ c = 1
इसलिए, वाँछित समीकरण xy = 1 है।
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निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + (sec x)y = tan x (0 <= x <= pi/2)`
एक तल में सभी अक्षैतिज रेखाओं का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कौजिए जिसका किसी बिंदु P(x, y) से वक्र के अभिलंब की मूल बिंदु से लंबवत दूरी P से x-अक्ष की दूरी के बराबर है।
अवकल समीकरण `("dy"/"dx")^2 - x "dy"/"dx" + "y"` = 0 का एक हल है
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अवकल समीकरण dy = cosx(2 – y cosecx) dx को हल कीजिए, दिया है कि x = `pi/2` तब y = 2 है।
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अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" tanx - secx` = 0 का समाकलन गुणक है
वक्र कुल y2 = 4a(x + a) का अवकल समीकरण है
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