Question

बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु P (x, y) से खींची गई स्पर्श रेखा, निर्देशांक अक्षों से A और B पर इस प्रकार मिलती है कि AB का मध्य बिंदु P है।

Answer 1

मान लीजिए P (x, y) वक्र पर कोई बिंदु है और P पर दिए गए वक्र की स्पर्शरेखा AB है।

AB का मध्यबिंदु P है .....(दिया है)

∴  A और B के निर्देशांक क्रमशः (2x, 0) और (0, 2y) हैं।

∴ स्पर्श रेखा AB का ढाल = `(2"y" - 0)/(0 - 2x) = - "y"/x`

∴ `("dy")/("d"x) = - "y"/x`

⇒ `("dy")/"y" = -("d"x)/x`

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

`int ("dy")/"y" = -int ("d"x)/x`

⇒ log y = – log x + log c

⇒ log y + log x = log c

⇒ log yx = log c

∴ yx = c

क्योंकि वक्र (1, 1) से होकर गुजरता है

∴ 1 × 1 = c

∴ c = 1

इसलिए, वाँछित समीकरण xy = 1 है।