Question

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`xdy/dx + 2y = x^2 log x`

Answer 1

दिया गया समीकरण 

`x dy/dx + 2y = x^2 log x`

या `dy/dx + (2/x)y = x log x`

`dy/dx + Py = Q` से तुलना करने पर,

P = `2/x` और Q = x log x

∴` I.F. = e^(int P dx) = e^(int_x^2 dx)`

`= e^(2 log x) = e^(log x^2) = x^2`

अतः अभीष्ट हल

∴ y × I.F. = ∫ Q × I.F. dx + C

⇒ y × x² = ∫ x² + x log x dx + C

⇒ x² y = ∫ x³ log x + C

⇒ x² y = `log x * x^4/4 - int 1/4 * x^4/4 dx + C`

⇒ x² y = `x^4/4 log x - 1/4 int x^3 dx + C`

⇒ x² y = `x^4/4 log x - 1/4 xx x^4/4 + C`

⇒  y = `x^2/16 (4 log x - 1) + C/x^2`