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Question
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`x "dy"/"dx" + y - x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)`
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Solution
दिया गया अवकल समीकरण
`x dy/dx + y - x + xy cot x = 0`
⇒ `x dy/dx + y (1 + x cot x) = x`
या `dy/dx + (1/x + cot x) y = 1` ...(i)
`dy/dx + Py = Q` से तुलना करने पर,
P = `1/x + cot x` और Q = 1
∴ `I.F. = e^(int P dx) = e^(int(1/x + cot x)dx)`
`= e^(log x) + log sin x`
`=> e^(log (x sin x)) = x sin x`
अतः अभीष्ट हल
∴ `y × I.F. = int I.F. xx Q dx + C`
`=> y xx x sin x = int 1 * x sin x dx + C`
`=> xy sin x = - x cos x + int 1 cos x dx + C`
`=> xy sin x = - x cos x + sin x + C`
⇒ `y = (- x cos x)/(x sin x) + (sin x)/(x sin x) + C/(x sin x)`
⇒ `y = 1/x - cot x + C/ (x sin x)`
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