Question

`("dy")/("d"x) = cos(x + "y") + sin(x + "y")` को हल कीजिए [संकेत : x + y = z रखिए]

Answer 1

दिया गया है कि: `("dy")/("d"x) = cos(x + "y") + sin(x + "y")`

x को अवकलित करने पर x + y = v हमें प्राप्त होता है,

`1 + ("dy")/("d"x) = "dv"/"dx"`

∴ `("dy")/("d"x) = "dv"/"dx" - 1`

∴ `"dv"/"dx" - 1` = cos v + sin v

⇒ `"dv"/"dx"` = cos v + sin v + 1

⇒ `"dv"/(cos"v" + sin"v" + 1)` = dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

`int "dv"/(cos"v" + sin"v" + 1) = int 1 . "d"x`

⇒ `int  "dv"/(((1 - tan^2  "v"/2)/(1 + tan^2  "v"/2) + (2tan  "v"/2)/(1 + tan^2  "v"/2) + 1)) = int 1. "d"x`

⇒ `int ((1 + tan^2  "v"/2))/(1 - tan^2  "v"/2 + 2 tan  "v"/2 + 1 + tan^2  "v"/2) "dv" = int 1."d"x`

⇒ `int (sec^2  "v"/2)/(2 + 2 tan  "v"/2) "dv" = int 1."d"x`

`2 + 2 tan  "v"/2` = t रखिए

`2 * 1/2 sec^2  "v"/2 "dv"` = dt

⇒ `sec^2  "v"/2 "dv"` = dt

⇒ `int "dt"/"t" = int 1."d"x`

⇒ `log|"t"|` = x + c

⇒ `log|2 + 2 tan  "v"/2|` = x + c

⇒ `log|2 + 2tan((x + "y")/2)| ` = x + c

⇒ `log2 [1 + tan((x + "y")/2)]` = x + c

⇒ `log2 + log[1 + tan ((x + "y")/2)]` = x + c

⇒ `log[1 + tan((x + "y")/2)]` = x + c – log 2

इसलिए, वाँछित हल `log[1 + tan((x + "y")/2)]` = x + K  ....[c – log 2 = K] है।