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प्रश्न
वक्र कुल x2 + y2 – 2ay = 0, जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है का अवकल समीकरण है
विकल्प
`(x^2 - "y"^2) ("dy")/("d"x)` = 2xy
`2(x^2 + "y"^2) ("dy")/("d"x)` = xy
`2(x^2 - "y"^2) ("dy")/("d"x)` = xy
`(x^2 + "y"^2) ("dy")/("d"x)` = 2xy
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उत्तर
सही उत्तर `underline((x^2 - "y"^2) ("dy")/("d"x) = 2x"y")` है।
व्याख्या:
दिया गया समीकरण x2 + y2 – 2ay = 0 ......(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`2x + 2"y" * ("dy")/("d"x) - 2"a" ("dy")/("d"x)` = 0
⇒ `x + "y" ("dy")/("d"x) - "a" ("dy")/("d"x)` = 0
⇒ `x + ("y" - "a") ("dy")/("d"x)` = 0
⇒ `("y" - "a") ("dy")/("d"x)` = – x
⇒ y – a = `(-x)/(("dy")/("d"x))`
⇒ a = `"y" + x/(("dy")/("d"x))`
⇒ a = `("y" * ("dy")/("d"x) + x)/(("dy")/("d"x))`
a का मान समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है
`x^2 + "y"^2 - 2"y" [("y" ("dy")/("d"x) + x)/(("dy")/("d"x))]` = 0
⇒ `(x^2 + "y"^2) ("dy")/("d"x) - 2"y"("y" ("dy")/("d"x) + x)` = 0
⇒ `(x^2 + "y"^2) ("dy")/("d"x) - 2"y"^2 ("dy")/("d"x) - 2x"y"` = 0
⇒ `(x^2 + "y"^2 - 2"y"^2) ("dy")/("d"x^2)` = 2x"y"
⇒ `(x^2 - "y"^2) ("dy")/("d"x)` = 2xy
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