Advertisements
Advertisements
प्रश्न
y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
दिया गया समीकरण y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 है।
⇒ y2dx = – (x2 – xy + y2) dy
⇒ `"dx"/"dy" = - (x^2 - x"y" + "y"^2)/"y"^2`
क्योंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है
∴ x = vy रखिए
⇒ `"dx"/"dy" = "v" + "y" * "dv"/"dy"`
तो, `"v" + "y" * "dv"/"dy" = - (("v"^2"y"^2 - "vy"^2 + "y"^2)/"y"^2)`
⇒ `"v" + "y" * "dv"/"dy" = -("y"^2("v"^2 - "v" + 1))/"y"^2`
⇒ `"v" + "y" * "dv"/"dy" = (-"v"^2 + "v" - 1)`
⇒ `"y" * "dv"/"dy" = - "v"^2 + "v" - 1 = "v"`
⇒ `"y" * "dv"/"dy" = - "v"^2 - 1`
⇒ `"dv"/(("v"^2 + 1)) = - "dy"/"y"`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ `int "dv"/(("v"^2 + 1)) = -int "dy"/"y"`
⇒ `tan^-1"v" = - log "y" + "c"`
⇒ `tan^-1(x/"y") + log "y" + "c"`
इसलिए, वाँछित हल `tan^-1(x/"y") + log "y" + "c"` है।
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + y/x + x^2`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`cos^2 x dy/dx + y = tan x (0 <= x < pi/2)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
(1 + x2)dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`x "dy"/"dx" + y - x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2 y tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`
निम्नलिखित अवकल समीकरण में से कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
`(d^2y)/dx^2 + 5x(dy/dx)^2 - 6y = log x`
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कौजिए जिसका किसी बिंदु P(x, y) से वक्र के अभिलंब की मूल बिंदु से लंबवत दूरी P से x-अक्ष की दूरी के बराबर है।
अवकल समीकरण `2x * "dy"/"dx" y` = 3 का हल किस कुल को निरूपित करता है?
वक्रों के कुल y = A sinx + B cosx को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ______ है।
`"dy"/"dx" + "y"` = 5 एक `"dy"/"dx" + "Py"` = Q प्रकार का अवकल समीकरण है परंतु इसे चर पृथक्करणीय विधि से भी हल कर सकते हैं।
अवकल समीकरण `"y"^2 "dy"/"dx" + "y"^2 + 1` = 0 का एक हल x + y = tan–1y है।
ydx – xdy = x2 ydx को हल कीजिए।
यदि `(1 + "t")"dy"/"dt" - "ty"` = 1 का y(t) एक हल है और y(0) = – 1 है तो दिखाइए कि y(1) = `-1/2`
`("dy")/("d"x) -3"y" = sin2x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
बिंदु (2, 1) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `(x^2 + "y"^2)/(2x"y")` है।
मूल बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता इस बिंदु के x निर्देशांक (भुज) तथा y निर्देशांक (कोटि) के अंतर के वर्ग के बराबर है।
अवकल समीकरण `(("d"^2"y")/("d"x^2))^2 + (("dy")/("d"x))^2 = xsin(("dy")/("d"x))` की घात है
अवकल समीकरण `[1 + (("dy")/("d"x))^2]^(3/2) = ("d"^2"y")/("d"x^2)` की घात है
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^(1/4) + x^(1/5)` = 0, के कोटि और घात क्रमश: हैं
`(x"dy")/("d"x) - "y" = x^4 - 3x` का समाकलन गुणक है:
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^3 + 6"y"^5` = 0 की घात है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" tanx - secx` = 0 का समाकलन गुणक है
अवकल समीकरण `sqrt(1 + (("dy")/("d"x))^2)` = x की घात ______ है।
`("d"x)/("d"x) + "P"_1x = "Q"_1` प्रकार के अवकल समीकरण का व्यापक हल ______ है।
अवकल समीकरण ydx + (x + xy)dy = 0 का हल ______ है।
अवकल समीकरण `("d"x)/("dy") + "P"_1x = "Q"_1` के समाकलन गुणक को `"e"^(int "P"_1"dy")` से लिखा जाता है।
`("d"x)/("dy") + "p"_1x = "Q"_1` प्रकार के अवकल समीकरण के हल को x.I.F. = `("I"."F") xx "Q"_1"dy"` द्वारा दिया जाता है।
`("dy")/("d"x) = "f"(x, "y")` जहाँ f (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन y = vx है।
`x("dy")/("d"x) = "y" + x tan "y"/x` का हल `sin("y"/x)` = cx है।
