Mathematics (गणित) 65/1/2 2025-2026 Commerce (Hindi Medium) Class 12 [कक्षा १२] Question Paper Solution

यदि `int (3ax)/(b^2 + c^2x^2) dx = A log |b^2 + c^2x^2| + K` है, तो A का मान है:

3a

`(3a)/(2b^2)`

`(3a)/(b^2c^2)`

`(3a)/(2c^2)`

`int_-1^1 (x^3)/(x^2 + 2|x| + 1) dx` का मान है:

0

log 2

2 log 2

`1/2` log 2

वक्र y = x|x|, x-अक्ष एवं कोटियों x = −1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

0

`1/3`

`2/3`

`4/3`

अवकल समीकरण R`(dx)/(dy) + Px = Q`, जहाँ P, Q तथा R, y के फलन हैं, का समाकलन गुणक है:

`e^(intP/Qdy)`

`e^(intPdy)`

`e^(intP/Rdy)`

`e^(intP/Rdx)`

अवकल समीकरण: `d/(dx) (sin y) = y^2` की कोटि तथा घात क्रमशः हैं:

1, 1

2, 1

2, 2

1, 2

p का वह मान जिसके लिए सदिश `hati + 2hatj + 3hatk  "तथा"  2hati - phatj + hatk` परस्पर लंबवत हैं, है:

0

1

`5/2`

`-5/2`

m का वह मान जिसके लिए बिंदु जिनके स्थिति सदिश `-hati -hatj + 2hatk, 2hati + mhatj + 5hatk  "तथा"  3hati + 11hatj + 6hatk` हैं, संरेख हैं, है:

8

−8

2

`5/2`

यदि `|vec"a"| = 8, |vec"b"| = 3  "तथा"  |vec"a" xx vec"b"|` = 12 है, तो `|vec"a" * vec"b"|` का मान है:

`6sqrt(3)`

`8sqrt(3)`

`12sqrt(3)`

`3sqrt(12)`

बिंदु (1, 2, 8) से रेखा `x/0 = y/1 = z/0` पर डाले गए लंब की लंबाई है:

2

6

`sqrt10`

`sqrt14`

एक LPP जिसका उद्देश्य फलन Z = 5x + 7y है, का सुसंगत क्षेत्र नीचे दर्शाया गया है:

Z का अधिकतम मान − Z का न्यूनतम मान है:

8

29

35

43

एक LPP के उद्देश्य फलन की घात है:

0

1

2

कोई प्राकृत संख्या

यदि tan⁻¹ x = 3y है, तो ______।

`-π/2 < y < π/2`

`-(3π)/2 < y < (3π)/2`

`-π/6 < y < π/6`

`-π/6 ≤ y ≤ π/6`

निम्न में से कौन सा एक स्तंभ-आव्यूह की कोटि नहीं हो सकता?

1 × 2

2 × 1

1 × 1

m × 1, जहाँ m ∈ N

उपयुक्त कोटि के दो आव्यूहों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा/से गुण सत्य है/हैं?

1. (A + B)′ = A′ + B′
2. (A − B)′ = B′ − А′
3. (AB)′ = A′B′
4. (kAB)′ = kB′A′ (k एक अदिश है)

केवल (i)

(i), (ii) तथा (iii)

(i) तथा (ii)

(i) तथा (iv)

यदि `Δ_1 = |(1  0  0), (0  2  0), (0  0  3)|  "तथा"  Δ_2 = |(0  2  0), (1  0  0), (0  0  6)|` है, तो ______।

Δ₁ = 2Δ₂

Δ₂ = −2Δ₁

Δ₁ = Δ₂

x का एक मान जिसके लिए `|(cos x, sin x), (- cos x, sin x)|` = 1 है:

0

`π/4`

`π/3`

`π/2`

यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो निम्न में से कौन-सा एक विषम-सममित आव्यूह है?

A² + В²

A² − В²

AB + BA

AB − BA

f(x) = x² + 1 in [−5, 2] में अधिकतम निरपेक्ष मान है:

26

1

5

2

अभिकथन (A): x = py + q, z = ry + s तथा x = p′y + q′, z = r′y + s′ द्वारा दी गई रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं यदि pp′ + rr′ = 1 है।

तर्क (R): दो रेखाएँ `vecr = veca_1 + lambda vecb_1  "तथा"  vecr = veca_2 + mu vecb_2` परस्पर लंबवत हैं यदि `vecb_1 * vecb_2 = 0` है।

अभिकथन (A) तथा तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R) अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।

अभिकथन (A) तथा तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R) अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।

अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है, परन्तु तर्क (R) सही है।

अभिकथन (A): एक निष्पक्ष पासे को उछालने के प्रयोग में, एक अभाज्य संख्या के आने की प्रायिकता,जबकि दिया है कि पासे पर एक विषम संख्या आई है, `2/3` है।

तर्क (R): किन्हीं दो घटनाओं A तथा B के लिए P(A|B) = `(P(A ∪ B))/(P(B))`

अभिकथन (A) तथा तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R) अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।

अभिकथन (A) तथा तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R) अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।

अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है, परन्तु तर्क (R) सही है।

परिमाण 14 के एक सदिश `veca` के दिक्-अनुपात <2, 3, −6> हैं। सदिश `veca` का सदिश `hati` पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

सदिश `veca = 3hati - 2hatj + 2hatk  "तथा"  vecb = hati + 2hatk` एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं को निरूपित करते हैं। इस चतुर्भुज के विकर्णों को निरूपित करने वाले सदिश ज्ञात कीजिए। अतः इन विकर्णों की लम्बाइयाँ भी ज्ञात कीजिए।

सरल कीजिए:

`tan^-1((cos 2x - sin 2x)/(cos 2x + sin 2x)), 0 < x < π/4`

मान ज्ञात कीजिए:

`tan (sin^-1 1 - cos^-1(- 1/2))`

जाँच कीजिए कि क्या f(x) द्वारा दिया गया फलन: `f(x) = {((|x - 3|)/(2(x - 3))","  x < 3), ((x - 6)/6","  x ≥ 3):}` x = 3 पर संतत है या नहीं।

यदि `sqrt3(x^2 + y^2) = 4xy` है, तो `(1/2, sqrt3/2)  "पर"  (dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए।

सरल कीजिए:

`cot^-1 sqrt((1 + cos 2x)/(1 - cos 2x)), x ∈ (0, π/2)`

मान ज्ञात कीजिए:

`sin (tan^-1 (-sqrt3) - sec^-1 2)`

यदि `I_1 = int_(-π/4)^(π/4) (dx)/(1 + cos 2x)  "तथा"  I_2 = int_(-1/2)^(1/2) |x|dx` है, तो दर्शाइए कि I₁ − 4I₂ = 0।

y²dx + (x² – xy + y²) dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण `(dy)/(dx) = y tan x`; दिया है y = 2 यदि = 0, का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

निम्न रेखिक प्रोग्रामन समस्या (LLP) को ग्राफ द्वारा हल कीजिए:

अवरोधों:

x + y ≤ 7,

2x − 3y + 6 ≥ 0,

x ≥ 0, y ≥ 0

के अंतर्गत Z = 13x − 15y का न्यूनतमीकरण कीजिए।

दो थैलों में से थैला I में 3 लाल तथा 4 सफेद गेंदें हैं, जबकि थैला II में 8 लाल तथा 6 सफेद गेंदें हैं। एक पासा उछाला गया। यदि 3 से कम संख्या आई तो थैला I में से एक गेंद को यादृच्छया निकाला गया अन्यथा थैला II में से यादृच्छया एक गेंद को निकाला गया। दोनों थैलों में से एक में से निकाली गई गेंद के लाल रंग की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

दो घटनाओं X तथा Y में से कम से कम एक के एक साथ होने की प्रायिकता a है। यदि घटनाओं X, Y में ठीक एक के होने की संभावना है, तो सिद्ध कीजिए कि P(X′) + P(Y′) = 2 − 2a + b।

मान ज्ञात कीजिए:

`int_0^1 x * sin^-1 x * dx`

ज्ञात कीजिए:

`int sqrt((x + 2)/(x - 2))` dx

ज्ञात कीजिए:

`int x^2/((x^2 + 9) (x^2 + 16))` dx

यदि x = 3 sin t − sin 3t तथा y = 3 cos t − cos 3t है,

तो `(dy)/(dx)` ज्ञात कीजिए, अतः सिद्ध कीजिए कि `(d^2y)/(dx^2) = (-cosec^3 2t * cosec t)/3`

सिद्ध कीजिए कि बिंदुओं А(0, −1, −1) तथा B(4, 5, 1) से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं C(3, 9, 4) तथा D(−4, 4, 4) से होकर जाने वाली रेखा को काटती है। अतः रेखाओं AB तथा CD के प्रतिच्छेदन बिंदु तथा मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।

एक संबंध R, सभी पूर्णांकों के समुच्चय Z में इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(x, y) : |x − y| एक अभाज्य संख्या ‘p’ से भाज्य है, x, y ∈ Z} है।

जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं।

फलन f: `R - {3/5} -> R - {3/5}`, इस प्रकार परिभाषित है `f(x) = (3x + 2)/(5x - 3)`। दर्शाइए कि f एक एकैकी एवं आच्छादक फलन है।

यदि `A = [(0, 2, 1), (-2, -1, -2), (1, -1, 0)]` है, तो A⁻¹ ज्ञात कीजिए।

A⁻¹ के प्रयोग से निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए:

−2y + z = 7, 2x − y − z = 8, x − 2y = 10

यदि `[(3, -1, sin3x), (-7, 4, cos2x), (-11, 7, 2)]` एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है, तो x के सभी मान ज्ञात कीजिए जहाँ x ∈ `[0, π/2]` है।

एक ऑन-लाइन जैकपॉट में ₹ 3,00,000 का पहला इनाम, ₹ 2,00,000 के दो दूसरे इनाम और ₹ 50,000 के तीन तीसरे इनाम हैं। जैकपॉट के लिए प्रत्येक ₹ 100 मूल्य के 1,00,000 टिकटों की बिक्री से ₹ 1,00,00,000 एकत्र हुए।

रोहन ने एक टिकट खरीदा।

उपरोक्त सूचनाओं के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. एक व्यक्ति कौन-कौन सी संभावितराशियाँ जीत सकता है? [1]
2. 1. एक व्यक्ति द्वारा कम से कम ₹ 2,00,000 जीतने की क्या प्रायिकता है? [2]
      अथवा
   2. एक व्यक्ति के कुछ भी न जीतने की क्या प्रायिकता है? [2]
3. एक अन्य जैकपॉट जिसमें इनाम की राशि ₹ 5,00,000 है, का एक टिकट भी रोहन ने लिया। इस जैकपॉट में जीतने की संभावना 1,00,000 में 1 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि रोहन किसी एक ही जैकपॉट की टिकट पर इनाम जीतता है। [1]

ट्रैफिक कम करने और रेडलाइट से बचने के लिए अकसर व्यस्त सड़कों पर गोल चक्कर बनाए जाते हैं।

एक ऐसा ही गोल चक्कर इस प्रकार बनाया गया कि उसकी सीमा C₁ ;  x² + y² = 64 द्वारा प्रदत्त है। इस गोल चक्कर के मध्य में एक वृत्ताकार तालाब है जिसमें एक फव्वारा लगा हुआ है, जिसकी समीकरण C₂ ;  x² + y² = 4 द्वारा प्रदत्त है।

उपरोक्त सूचनाओं के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. समीकरण C₁ तथा C₂ को आकृति से दर्शाइए। [1]
2. दोनों C₁ तथा C₂ के लिए y को x के फलन के रूप में दर्शाइए। (y = f(x)) [1]
3. 1. पूरे गोल चक्कर द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए। [2]
      अथवा
   2. वृत्ताकार तालाब द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकलन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। [2]

एक ऑन-लाइन डिलिवरी कम्पनी के एक शहर में 5000 ग्राहक हैं तथा वह प्रत्येक ग्राहक से असीमित मुफ्त डिलिवरी के लिए ₹ 300 प्रतिवर्ष लेती है।

कम्पनी अपना वार्षिक सदस्यता शुल्क बढ़ाना चाहती है। यह अनुमान है कि प्रत्येक ₹ 1 की बढ़ोतरी से 10 सदस्य छोड़ जाएँगे। माना कि कम्पनी ने वार्षिक शुल्क में ₹ x की बढ़ोतरी की।

उपरोक्त सूचनाओं के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. वार्षिक शुल्क में ₹ x की बढ़ोतरी पर कितने सदस्य छोड़ जाएँगे? [1]
2. यदि R(x) वार्षिक शुल्क में ₹ x की बढ़ोतरी के बाद इकट्ठा हुए कुल राजस्व को दर्शाता है, तो R(x) को x के फलन के रूप में व्यक्त कीजिए। [1]
3. 1. x का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए R(x) अधिकतम हो। [2]
      अथवा
   2. वह उपअन्तराल ज्ञात कीजिए जहाँ (0, 5000) में R(x) वर्धमान अथवा हासमान है। [2]