Question

मान ज्ञात कीजिए:

`int_0^1 x * sin^-1 x * dx`

Answer 1

मान लें, u = sin⁻¹ x तथा dv = x dx

तब,

`du = 1/(sqrt(1 - x^2)) dx, v = x^2/2`

आंशिक समाकलन विधि से,

`int x * sin^-1 x * dx = x^2/2 sin^-1 x - int x^2/(2sqrt(1 - x^2)) dx`

अब दिए गए निश्चित समाकल का मान निकालें:

पहला पद:

`[x^2/2 sin^-1 x]_0^1 = 1/2 * π/2 = π/4`

दूसरे समाकल के लिए, x = sin ⁡θ रखें, तब

`1/2 int_0^(π/2) sin^2 ⁡θ  d⁡θ = 1/2 * ⁡π/4 = π/8`

अतः,

`π/4 - π/8`

= `π/8`