Advertisements
Advertisements
प्रश्न
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
Advertisements
उत्तर
वक्र का समीकरण `sqrt(x) + sqrt(y)` = 4 द्वारा दिया जाता है
माना (x1, y1) वक्र पर वांछित बिंदु है
∴ `sqrt(x)_1 + sqrt(y)_1` = 4
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x1, हमें मिलता है
`"d"/("dx"_1) sqrt(x_1) + "d"/("dx"_1) sqrt(y_1) = "d"/("dx"_1) (4)`
⇒ `1/(2sqrt(x_1)) + 1/(2sqrt(y_1)) * ("d"y_1)/("dx"_1)` = 0
⇒ `1/sqrt(x_1) + 1/sqrt(y_1) * ("dy"_1)/("dx"_1)` = 0
⇒ `("dy"_1)/("d"x_1) = - sqrt(y_1)/sqrt(x_1)` .....(i)
क्योंकि (x1, y1) पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा समान रूप से झुकी होती है।
∴ स्पर्श रेखा का ढाल `("dy"_1)/("dx"_1) = +- tan pi/4` = ±1
अतः समीकरण (i) से हमें प्राप्त होता है
`- sqrt(y_1)/sqrt(x_1)` = ±1
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`(y_1)/(x_1)` = 1
⇒ y1 = x1
दिए गए वक्र के समीकरण में y1 का मान रखने पर।
`sqrt(x_1) + sqrt(y_1)` = 4
⇒ `sqrt(x_1) + sqrt(x_1)` = 4
⇒ `2sqrt(x_1)` = 4
⇒ `sqrt(x_1)` = 2
⇒ x1 = 4
तब से y1 = x1
∴ y1 = 4
अतः अभीष्ट बिंदु (4, 4) है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
किसी शांकवीय बर्तन के शीर्ष के एक छोटे छिद्र से, जिसका अक्ष ऊर्घ्वाधर है, पानी 1 cu cm/sec की दर से बह रहा है। बर्तन में पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब तिर्यक ऊँचाई 4 cm हैं। शांकवीय बर्तन का शीर्ष कोण `pi/6` है।
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
शीर्ष कोण `2theta` वाला एक समद्धिबाहु त्रिभुज a त्रिज्या वाले किसी वृत्त के अंतर्गत स्थित है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजं का क्षेत्रफल उच्चतम है। जब `theta = pi/6`
समीकरण x = et . cost, y = et . sint द्वारा प्रदत्त वक्र की t = `pi/4` पर स्पर्श रेखा, x-अक्ष से कोण बनाती है।
a के वे मान जिनके लिए y = x2 + ax + 25 x-अक्ष को स्पर्श करता है, ______ है।
यदि f (x) = `1/(4x^2 + 2x + 1)`, तो इसका उच्चतम मान ______ है।
किसी गोले के आयतन के परिवर्तन की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष, जब उसकी त्रिज्या 2cm है, ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है, तो सिद्ध कीजिए कि उसका परिमाप (परिधि) उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है
वक्र 2x = y2 तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
वक्र 3x2 – y2 = 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर हैं।
वक्र x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर हैं।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x + cot–1x + log `(sqrt(1+x^2) - x)`, R में वर्धमान फलन है।
c2 क्षेत्रफल के किसी दिए हुए गत्ते से वर्गाकार आधार का एक खुला हुआ बाक्स बनाना है। सिद्ध कीजिए कि बाक्स का महत्तम आयतन `c^3/(6sqrt3)` घन इकाई है।
यदि किसी घन तथा गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर है तो घन के एक कोर (edge) तथा गोले के व्यास का अनुपात उस समय क्या है जब उनके आयतन का योगफल निम्नतम है?
भुजा x, 2x और `x/3` किसी आयताकार समांतर षट्फलक तथा एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतन का योगफल निम्नतम होगा, यदि x गोले की त्रिज्या के तीन गुने के बराबर है। उनके आयतन के योगफल का निम्नतम मान भी ज्ञात कीजिए।
किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल ______ की दर से बढ़ता है।
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
यदि वक्र ay + x2 = 7 तथा x3 = y बिंदु (1, 1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है ______
यदि y = x4 – 10 तथा यदि x, 2 से 1.99 तक परिवर्तित होता है, तो y का परिवर्तन क्या (कितना) है,
y = x(x – 3)2, x के नीचे दिए हुए मानों के लिए हासमान है,
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
फलन f(x) = tanx – x ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
a के वे मान जिनके लिए फलन f (x) = sinx – ax + b, R में वर्धमान है ______ .हैं।
फलन f(x) = `"a"x + "b"/x` (a > 0, b > 0, x > 0) का निम्नतम मान ______ है।
