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प्रश्न
वर्गाकार आधार तथा ऊर्ध्वाधर पृष्ठ वाले धातु के किसी बाक्स में 1024 cm3 वस्तु आती है। शीर्ष तथा आधार के पृष्ठों के माल (वस्तु) का मूल्य Rs 5/cm2 है तथा पृष्ठों के मान का मूल्य Rs 2.50/cm2 हैं। बाक्स का निम्नतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए x वर्गाकार आधार की भुजा है और y ऊर्ध्वाधर भुजाओं की लंबाई है।
आधार और तल का क्षेत्रफल = 2x2 cm2
∴ आवश्यक सामग्री की लागत = ₹ 5 × 2x2
= ₹ 10x2
4 भुजाओं का क्षेत्रफल = 4xy cm2
∴ चारों पक्षों के लिए सामग्री की लागत
= ₹ 2.50 x 4xy
= ₹ 10xy
कुल लागत C = 10x2 + 10xy .....(i)
बाक्स का नया आयतन = x × x × y
⇒ 1024 = x2y
∴ y = `1024/x^2` ....(ii)
y का मान समीकरण (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है
C = `10x^2 + 10x xx 1024/x^2`
⇒ C = `10x^2 + 10240/x`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dC"/"dx" = 20x - 10240/x^2` ....(iii)
`"dC"/"dx"` = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
`20 - 102400/x^2` = 0
⇒ 20x3 – 10240 = 0
⇒ x3 = 512
⇒ x = 8 cm
अब समीकरण (ii) से
y = `10240/(8)^2`
= `10240/64`
= 16 cm
∴ प्रयुक्त सामग्री की लागत C = 10x2 + 10xy
= 10 × 8 × 8 + 10 × 8 × 16
= 640 + 1280
= 1920
अब अवकलन समीकरण (iii) से हम प्राप्त करते हैं
`("d"^2"C")/("dx"^2) = 20 + 20480/x^3`
x = 8 रखो
= `20 + 20480/(8)^3`
= `20 + 20480/512`
= 20 + 40 = 60 > 0 निम्निष्ठ
अत: अभीष्ट लागत ₹ 1920 है जो कि न्यूनतम है।
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