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प्रश्न
किस बिंदु पर, वक्र y = – x3 + 3x2 + 9x – 27 की प्रवणता उच्चतम है? उच्चतम प्रवणता भी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
दिया गया है कि: y = – x3 + 3x2 + 9x – 27
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x,
हमें प्राप्त होता है `"dy"/'dx"` = – 3x2 + 6x + 9
माना वक्र का ढलान `"dy"/"dx"` = Z
∴ z = – 3x2 + 6x + 9
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x,
हमें `"dz"/"dx"` = – 6x + 6 मिलता है
स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
`"dz"/"dx"` = 0
∴ – 6x + 6 = 0
⇒ x = 1
⇒ `("d"^2z)/("d"x^2)` = – 6 < 0 उच्चिष्ठ
वक्र y = (– 1)3 + 3(1)2 + 9(1) – 27 के समीकरण में x = 1 रखें
= – 1 + 3 + 9 – 27
= – 16
अधिकतम ढलान = – 3(1)2 + 6(1) + 9 = 12
अतः (1, – 16) वह बिंदु है जिस पर दिए गए वक्र का ढलान अधिकतम और अधिकतम ढलान = 12 है।
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