Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 – 2 = 0 किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं:
विकल्प
`pi/4`
`pi/3`
`pi/2`
`pi/6`
Advertisements
उत्तर
सही उत्तर `underline(pi/2)`है।
व्याख्या:
दिए गए वक्र हैं x3 – 3xy2 + 2 = 0 .....(i)
और 3x2y – y3 – 2 = 0 ......(ii)
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. x, हमें मिलता है
`3x^2 - 3 * (x * 2y "dy"/"dx" + y^2 * 1)` = 0
⇒ `x^2 - 2xy "dy"?'dx" - y^2` = 0
⇒ `2xy "dy"/"dx"` = x2 – y2
∴ `"dy"/"dx" = (x^2 - y^2)/(2xy)`
अतः वक्र का ढाल m1 = `(x^2 - y^2)/(2xy)`
विभेदक समीकरण (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है
`3[x^2 "dy"/"dx" + y * 2x] - 3y^2 * "dy"/"dx"` = 0
`x^2 "dy"/"dx" + 2xy - y^2 "dy"/"dx"` = 0
⇒ `(x^3 - y^2) "dy"/"dx"` = – 2xy
∴ `"dy"/"dx" = (-2xy)/(x^2 - y^2)`
तो वक्र का ढलान m2 = `(-2xy)/(x^2 - y^2)`
अब m1 × m2 = `(x^2 - y^2)/(2xy) xx (-2xy)/(x^2 - y^2)` = – 1
अतः वक्रों के बीच का कोण `pi/2` है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निर्धारित कीजिए कि x के किन मानों के लिए, फलन y = `x^4 – (4x^3)/3` वर्धमान है तथा किन मानों के लिए, यह हासमान है।
अवकलों के प्रयोग द्वारा `sqrt(0.082)` का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = 3cos θ – cos3θ, y = 3sinθ – sin3θ के किसी बिंदु पर अभिंलब का समीकरण 4 (y cos3θ – x sin3θ) = 3 sin 4θ
f(x) = secx + log cos2x, 0 < x < 2π का उच्चतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
वक्र `3"y" = 6"x" – 5"x"^3` पर स्थित उस बिंदु का भुज, जिस पर वक्र का अभिलंब मूल बिंदुसे होकर जाता है।
किसी गोले के आयतन के परिवर्तन की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष, जब उसकी त्रिज्या 2cm है, ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
एक दूसरे से 45° पर झुकी हुई दो सड़कों के संधि-स्थल से दो मनुष्य A तथा B, एक ही समय v वेग से चलना प्रारम्भ करते हैं। यदि वे अलग-अलग सड़कों पर चलते हैं तो उनके परस्पर एक दूसरे से अलग होने की दर ज्ञात कीजिए।
किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x + cot–1x + log `(sqrt(1+x^2) - x)`, R में वर्धमान फलन है।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
यदि किसी घन तथा गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर है तो घन के एक कोर (edge) तथा गोले के व्यास का अनुपात उस समय क्या है जब उनके आयतन का योगफल निम्नतम है?
AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्धिबाहु है।
किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल ______ की दर से बढ़ता है।
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
रेखा x + 3y = 8 के समांतर, वक् 3x2 – y2 = 8 के अभिलंब का समीकरण है।
वक्र y (1 + x2 ) = 2 – x के, उस बिंदु पर, जहाँ यह x-अक्ष को काटती है, स्पर्श रेखा का समीकरण ______
वे बिंदु, जिन पर वक्र y = x3 – 12x + 18 की स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर हैं,
वक्र y = e2x की, बिंदु (0, 1) पर, स्पर्श रेखा x-अक्ष से बिंदु ______
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन 0, `pi/2` में हासमान है,
फलन f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 के ______
sin x . cos x का उच्चतम मान है ______
f(x) = xx का स्तब्ध बिंदु है ______
