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प्रश्न
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
हम जानते हैं कि दो वक्रों का प्रतिच्छेदन कोण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के बराबर होता है।
दिए गए वक्र हैं y = 4 – x2 ....(i) और y = x2 .....(ii)
विभेदक समीकरण (i) और (ii) के संबंध में x हमारे पास है
`"dy"/"dx"` = – 2x
⇒ m1 = – 2x
m1 वक्र (i) की स्पर्श रेखा का ढाल है।
और `"dy"/"dx"` = 2x
⇒ m2 = 2x
m2 वक्र (ii) की स्पर्शरेखा का ढाल है।
तो, m1 = – 2x और m2 = 2x
अब समीकरण (i) और (ii) को हल करना
⇒ 4 – x2 = x2
⇒ 2x2 = 4
⇒ x2 = 2
⇒ x = `+- sqrt(2)`
तो, m1 = – 2x
= `-2sqrt(2)` तथा m2 = 2x = `2sqrt(2)`
मान लीजिए θ दो वक्रों का प्रतिच्छेदन कोण है
∴ tan θ = `|("m"_2 - "m"_1)/(1 + "m"_1"m"_2)|`
= `|(2sqrt(2) + 2sqrt(2))/(1 - (2sqrt(2))(2sqrt(2)))|`
= `|(4sqrt(2))/(1 - 8)|`
= `|(4sqrt(2))/(1 - 8)|`
= `|(4sqrt(2))/(-7)|`
= `(4sqrt(2))/7`
∴ θ = `tan^-1 ((4sqrt(2))/7)`
अत: अभीष्ट कोण `tan^-1 ((4sqrt(2))/7)` है।
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