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Question
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
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Solution
हम जानते हैं कि दो वक्रों का प्रतिच्छेदन कोण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के बराबर होता है।
दिए गए वक्र हैं y = 4 – x2 ....(i) और y = x2 .....(ii)
विभेदक समीकरण (i) और (ii) के संबंध में x हमारे पास है
`"dy"/"dx"` = – 2x
⇒ m1 = – 2x
m1 वक्र (i) की स्पर्श रेखा का ढाल है।
और `"dy"/"dx"` = 2x
⇒ m2 = 2x
m2 वक्र (ii) की स्पर्शरेखा का ढाल है।
तो, m1 = – 2x और m2 = 2x
अब समीकरण (i) और (ii) को हल करना
⇒ 4 – x2 = x2
⇒ 2x2 = 4
⇒ x2 = 2
⇒ x = `+- sqrt(2)`
तो, m1 = – 2x
= `-2sqrt(2)` तथा m2 = 2x = `2sqrt(2)`
मान लीजिए θ दो वक्रों का प्रतिच्छेदन कोण है
∴ tan θ = `|("m"_2 - "m"_1)/(1 + "m"_1"m"_2)|`
= `|(2sqrt(2) + 2sqrt(2))/(1 - (2sqrt(2))(2sqrt(2)))|`
= `|(4sqrt(2))/(1 - 8)|`
= `|(4sqrt(2))/(1 - 8)|`
= `|(4sqrt(2))/(-7)|`
= `(4sqrt(2))/7`
∴ θ = `tan^-1 ((4sqrt(2))/7)`
अत: अभीष्ट कोण `tan^-1 ((4sqrt(2))/7)` है।
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