Advertisements
Advertisements
Question
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
Advertisements
Solution
हम जानते हैं कि दो वक्रों का प्रतिच्छेदन कोण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के बराबर होता है।
दिए गए वक्र हैं y = 4 – x2 ....(i) और y = x2 .....(ii)
विभेदक समीकरण (i) और (ii) के संबंध में x हमारे पास है
`"dy"/"dx"` = – 2x
⇒ m1 = – 2x
m1 वक्र (i) की स्पर्श रेखा का ढाल है।
और `"dy"/"dx"` = 2x
⇒ m2 = 2x
m2 वक्र (ii) की स्पर्शरेखा का ढाल है।
तो, m1 = – 2x और m2 = 2x
अब समीकरण (i) और (ii) को हल करना
⇒ 4 – x2 = x2
⇒ 2x2 = 4
⇒ x2 = 2
⇒ x = `+- sqrt(2)`
तो, m1 = – 2x
= `-2sqrt(2)` तथा m2 = 2x = `2sqrt(2)`
मान लीजिए θ दो वक्रों का प्रतिच्छेदन कोण है
∴ tan θ = `|("m"_2 - "m"_1)/(1 + "m"_1"m"_2)|`
= `|(2sqrt(2) + 2sqrt(2))/(1 - (2sqrt(2))(2sqrt(2)))|`
= `|(4sqrt(2))/(1 - 8)|`
= `|(4sqrt(2))/(1 - 8)|`
= `|(4sqrt(2))/(-7)|`
= `(4sqrt(2))/7`
∴ θ = `tan^-1 ((4sqrt(2))/7)`
अत: अभीष्ट कोण `tan^-1 ((4sqrt(2))/7)` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
वक्र y = 5x – 2x3 के लिए, यदि x में 2 इकाई/से. की दर से वृद्धि हो रही है, तो x = 3 पर वक्र का प्रावण्य कितनी तीव्रता से परिवर्तित हो रहा है?
अवकलों के प्रयोग द्वारा `sqrt(0.082)` का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
वक्रों `x^2/"a"^2 - y^2/"b"^2` = 1 तथा xy = c2 के लम्बकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
शीर्ष कोण `2theta` वाला एक समद्धिबाहु त्रिभुज a त्रिज्या वाले किसी वृत्त के अंतर्गत स्थित है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजं का क्षेत्रफल उच्चतम है। जब `theta = pi/6`
एक दूसरे से 45° पर झुकी हुई दो सड़कों के संधि-स्थल से दो मनुष्य A तथा B, एक ही समय v वेग से चलना प्रारम्भ करते हैं। यदि वे अलग-अलग सड़कों पर चलते हैं तो उनके परस्पर एक दूसरे से अलग होने की दर ज्ञात कीजिए।
(1.999)5 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रतिवर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1 रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा।ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
c2 क्षेत्रफल के किसी दिए हुए गत्ते से वर्गाकार आधार का एक खुला हुआ बाक्स बनाना है। सिद्ध कीजिए कि बाक्स का महत्तम आयतन `c^3/(6sqrt3)` घन इकाई है।
36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक सम्भव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।
AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्धिबाहु है।
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
यदि वक्र ay + x2 = 7 तथा x3 = y बिंदु (1, 1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है ______
वक्र y (1 + x2 ) = 2 – x के, उस बिंदु पर, जहाँ यह x-अक्ष को काटती है, स्पर्श रेखा का समीकरण ______
वक्र y = e2x की, बिंदु (0, 1) पर, स्पर्श रेखा x-अक्ष से बिंदु ______
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 – 2 = 0 किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं:
वह अंतराल, जिसमें फलन f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x – 1 हासमान है,
sin x . cos x का उच्चतम मान है ______
f (x) = 2 sin3x + 3 cos3x का मान x = `(5pi)/6`, पर ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
f(x) = xx का स्तब्ध बिंदु है ______
वक्र y = tanx के (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण ______ है।
a के वे मान जिनके लिए फलन f (x) = sinx – ax + b, R में वर्धमान है ______ .हैं।
