Advertisements
Advertisements
Question
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
Advertisements
Solution
दिया गया वक्र है `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 ....(i)
और सीधी रेखा x cos a + y sin a = p
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. x, हमें मिलता है
`1/"a"^2 * 2x + 1/"b"^2 * 2y * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x/"a"^2 + y/"b"^2 "dy"/"dx"` = 0
⇒ `"dy"/"dx" = - "b"^2/"a"^2 * x/y`
तो वक्र का ढलान = `(-"b"^2)/"a"^2 * x/y`
अब समीकरण को अलग करना (ii) w.r.t. x, हमारे पास है
`cos alpha + sin alpha * "dy"/"dx"` = 0
∴ `"dy"/"dx" = (- cos alpha)/sinalpha`
= `- cot alpha`
अत: सरल रेखा का ढलान = `- cot alpha`
यदि रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है, तो
`(-"b"^2)/"a"^2 * x/y = - cot alpha`
⇒ `x/y = "a"^2/"b"^2 * cot alpha`
⇒ x = `"a"^2/"b"^2 cot alpha * y`
अब समीकरण (ii) से हमारे पास x cos a + y sin a = p है।
⇒ `"a"^2/"b"^2 * cot alpha * y * cos alpha + y sin alpha` = p
⇒ `"a"^2 cot alpha * cos alpha y + "b"^2 sin alpha y = "b"^2"p"`
⇒ `"a"^2 cosalpha/sinalpha * cos alpha y + "b"^2 sin alpha y = "b"^2"p"`
⇒ `"a"^2 cos^2 alpha y + "b"^2 sin^2 alpha y = "b"^2 sin alpha "p"`
⇒ `"a"^2 cos^2 alpha + "b"^2 sin^2 alpha = "b"^2/y * sin alpha * "p"`
⇒ `"a"^2cos^2alpha + "b"^2 sin^2alpha = "p" * "p"` ....`["क्योंकि" "b"^2/y sin alpha = "p"]`
अत: a2 cos2α + b2 sin2α = p2
वैकल्पिक विधि:
हम जानते हैं कि y = mx + c दीर्घवृत्त को स्पर्श करेगा
`x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 यदि c2 = a2m2 + b2
यहाँ सीधी रेखा का समीकरण x cos α + y sin α = p है और दीर्घवृत्त का समीकरण है `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1
x cos α + y sin α = p
⇒ y sin α= – x cos α + p
⇒ y = `- x cosalpha/sinalpha + "P"/sinalpha`
⇒ y = `- x cot alpha + "P"/sinalpha`
y = mx + c की तुलना में, हम प्राप्त करते हैं
m = `- cot alpha` और c = `"P"/sinalpha`
तो, स्थिति के अनुसार, हमें c2 = a2m2 + b2 मिलता है
`"P"^2/(sin^2alpha) = "a"^2(- cot alpha)^2 + "b"^2`
⇒ `"P"^2/(sin^2alpha) = ("a"^2 cos^2alpha)/(sin^2alpha) + "b"^2`
⇒ p2 = a2 cos2α + b2 sin2α
अत: a2 cos2α + b2 sin2α = p2
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
`pi/4` अर्ध शीर्ष कोण वाले एक शांकवीय कीप (funnel) से, जिसकां शीर्ष नीचे की ओर है, कीप के पृष्ठ के क्षेत्रफल में 2cm2/sec की समान दर से उसके शीर्ष के एक छिद्र से पानी बह रहा है। पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी तिर्यंक ऊँचाई 4cm है।
सिद्ध कीजिए कि `x + 1/x` का स्थानीय उच्चतम मीन उसके स्थानीय निम्नतम मान से कम है।
वक्र y = cos (x + y), –2π ≤ x ≤ 2π, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।
यदि f (x) = `1/(4x^2 + 2x + 1)`, तो इसका उच्चतम मान ______ है।
मान लीजिए कि c पर f का द्वितीय अवकलज है, इस प्रकार कि f ′(c) = 0 तथा f ″(c) > 0, तो c पर फलन ______ है।
एक पतंग 151.5 cm की ऊंचाई पर क्षैतिज दिशा में गतिमान है। यदि पतंग की चाल 10 m/s है, तो डोरी को कितनी तेजी से छोड़ा जा रहा है, जब उसकी दूरी पतंग उड़ाने वाले लड़के से 250 cm है? लड़के की ऊंचाई 1.5 m है।
एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी आंतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमश: 3 cm तथा 3.0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण `pi/3` है।
किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रतिवर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1 रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा।ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।
वर्गाकार आधार तथा ऊर्ध्वाधर पृष्ठ वाले धातु के किसी बाक्स में 1024 cm3 वस्तु आती है। शीर्ष तथा आधार के पृष्ठों के माल (वस्तु) का मूल्य Rs 5/cm2 है तथा पृष्ठों के मान का मूल्य Rs 2.50/cm2 हैं। बाक्स का निम्नतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है।यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 मीटर दूर है:
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
रेखा x + 3y = 8 के समांतर, वक् 3x2 – y2 = 8 के अभिलंब का समीकरण है।
यदि वक्र ay + x2 = 7 तथा x3 = y बिंदु (1, 1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है ______
वक्र y (1 + x2 ) = 2 – x के, उस बिंदु पर, जहाँ यह x-अक्ष को काटती है, स्पर्श रेखा का समीकरण ______
वे बिंदु, जिन पर वक्र y = x3 – 12x + 18 की स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर हैं,
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t – 5 की, बिंदु (2, -1) पर, स्पर्श रेखा की प्रवणता ______ है।
वह अंतराल, जिसमें फलन f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x – 1 हासमान है,
मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = 2x + cosx द्वारा परिभाषित है, तो f ______
फलन f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 के ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
f(x) = xx का स्तब्ध बिंदु है ______
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है ______
