Advertisements
Advertisements
Question
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
Advertisements
Solution
दिया गया वक्र है `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 ....(i)
और सीधी रेखा x cos a + y sin a = p
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. x, हमें मिलता है
`1/"a"^2 * 2x + 1/"b"^2 * 2y * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `x/"a"^2 + y/"b"^2 "dy"/"dx"` = 0
⇒ `"dy"/"dx" = - "b"^2/"a"^2 * x/y`
तो वक्र का ढलान = `(-"b"^2)/"a"^2 * x/y`
अब समीकरण को अलग करना (ii) w.r.t. x, हमारे पास है
`cos alpha + sin alpha * "dy"/"dx"` = 0
∴ `"dy"/"dx" = (- cos alpha)/sinalpha`
= `- cot alpha`
अत: सरल रेखा का ढलान = `- cot alpha`
यदि रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है, तो
`(-"b"^2)/"a"^2 * x/y = - cot alpha`
⇒ `x/y = "a"^2/"b"^2 * cot alpha`
⇒ x = `"a"^2/"b"^2 cot alpha * y`
अब समीकरण (ii) से हमारे पास x cos a + y sin a = p है।
⇒ `"a"^2/"b"^2 * cot alpha * y * cos alpha + y sin alpha` = p
⇒ `"a"^2 cot alpha * cos alpha y + "b"^2 sin alpha y = "b"^2"p"`
⇒ `"a"^2 cosalpha/sinalpha * cos alpha y + "b"^2 sin alpha y = "b"^2"p"`
⇒ `"a"^2 cos^2 alpha y + "b"^2 sin^2 alpha y = "b"^2 sin alpha "p"`
⇒ `"a"^2 cos^2 alpha + "b"^2 sin^2 alpha = "b"^2/y * sin alpha * "p"`
⇒ `"a"^2cos^2alpha + "b"^2 sin^2alpha = "p" * "p"` ....`["क्योंकि" "b"^2/y sin alpha = "p"]`
अत: a2 cos2α + b2 sin2α = p2
वैकल्पिक विधि:
हम जानते हैं कि y = mx + c दीर्घवृत्त को स्पर्श करेगा
`x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 यदि c2 = a2m2 + b2
यहाँ सीधी रेखा का समीकरण x cos α + y sin α = p है और दीर्घवृत्त का समीकरण है `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1
x cos α + y sin α = p
⇒ y sin α= – x cos α + p
⇒ y = `- x cosalpha/sinalpha + "P"/sinalpha`
⇒ y = `- x cot alpha + "P"/sinalpha`
y = mx + c की तुलना में, हम प्राप्त करते हैं
m = `- cot alpha` और c = `"P"/sinalpha`
तो, स्थिति के अनुसार, हमें c2 = a2m2 + b2 मिलता है
`"P"^2/(sin^2alpha) = "a"^2(- cot alpha)^2 + "b"^2`
⇒ `"P"^2/(sin^2alpha) = ("a"^2 cos^2alpha)/(sin^2alpha) + "b"^2`
⇒ p2 = a2 cos2α + b2 sin2α
अत: a2 cos2α + b2 sin2α = p2
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सिद्ध कीजिए कि f (x) = `(log x)/x` द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
वक्र y = 5x – 2x3 के लिए, यदि x में 2 इकाई/से. की दर से वृद्धि हो रही है, तो x = 3 पर वक्र का प्रावण्य कितनी तीव्रता से परिवर्तित हो रहा है?
निर्धारित कीजिए कि x के किन मानों के लिए, फलन y = `x^4 – (4x^3)/3` वर्धमान है तथा किन मानों के लिए, यह हासमान है।
फलन f(x) = `- 3/4 x^4 - 8x^3 - 45/2 x^2 + 105` के सभी स्थानीय उच्चिष्ठ तथा स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
वक्र y = sinx के बिंदु (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण:
यदि f (x) = `1/(4x^2 + 2x + 1)`, तो इसका उच्चतम मान ______ है।
यदि f (x) = sinx तो अंतराल `[(-pi)/2, pi/2]` में f का निम्निष्ठ मान ______ है।
एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी आंतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमश: 3 cm तथा 3.0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वक्र xy = 4 तथा x2 + y2 = 8, एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
वक्र 3x2 – y2 = 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर हैं।
वक्र x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर हैं।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
सिद्ध किजिए कि f (x) = tan–1(sinx + cosx), अतंराल 0,`pi/4` में एक वर्धमान फलन है।
किस बिंदु पर, वक्र y = – x3 + 3x2 + 9x – 27 की प्रवणता उच्चतम है? उच्चतम प्रवणता भी ज्ञात कीजिए।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रतिवर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1 रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा।ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।
यदि वक्र ay + x2 = 7 तथा x3 = y बिंदु (1, 1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है ______
यदि y = x4 – 10 तथा यदि x, 2 से 1.99 तक परिवर्तित होता है, तो y का परिवर्तन क्या (कितना) है,
वक्र y (1 + x2 ) = 2 – x के, उस बिंदु पर, जहाँ यह x-अक्ष को काटती है, स्पर्श रेखा का समीकरण ______
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 – 2 = 0 किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं:
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
फलन f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 के ______
वक् y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 की उच्चतम प्रवणता ______
f(x) = xx का स्तब्ध बिंदु है ______
`(1/x)^x`का उच्चतम मान है ______
वक्र y = tanx के (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण ______ है।
