Question

शीर्ष कोण `2theta` वाला एक समद्धिबाहु त्रिभुज a त्रिज्या वाले किसी वृत्त के अंतर्गत स्थित है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजं का क्षेत्रफल उच्चतम है। जब `theta = pi/6`

Answer 1

मान लीजिए कि एक समद्धिबाहु त्रिभुज ABC त्रिज्या a वाले किसी वृत्त के अंतर्गत है, इस प्रकार कि AB = AC

AD = AO + OD = a +a cos2`theta` तथा BC = 2 BD

= 2a sin2θ (आकृति 6.4 देखिए)

इसलिए, ∆ ABC का क्षेत्रफल, अर्थात्‌ ∆ = `1 /2` BC . AD

= `1/2 2"a" sin2θ * ("a" + "a" cos2θ)`

= `"a"^2 sin2θ (1 + cos2θ)`

⇒ ∆ = `"a"^2 sin2θ + 1/2 "a"^2 sin4θ`

इसलिए, `("d"∆)/ ("d"θ) = 2"a"^2 cos2θ + 2"a"^2 cos4θ`

= `2"a"^2 (cos2θ + cos4θ)`

`("d"∆)/("d"θ) = 0 ⇒ cos2θ = –cos4θ = cos (π  –  4θ)`

इसलिए, `2θ = π  –  4θ ⇒ θ = π/6`

`("d"^2∆)/("d"theta)` = 2a² (–2sin2θ – 4sin4θ) < 0 `(theta = pi/6 "पर")`

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब `theta = pi/6`