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Question
वक्र 2x = y2 तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
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Solution
यदि दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90° है, तो दो वृत्त लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।
दो वृत्तों के समीकरण इस प्रकार दिए गए हैं
2x = y2 ......(i)
And 2xy = k ......(ii)
विभेदक समीकरण (i) और (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है
2.1 = `2y * "dy"/"dx"`
⇒ `"dy"/"dx" = 1/y`
⇒ m1 = `1/y` ......(m1 = स्पर्शरेखा का ढलान)
⇒ 2xy = k
⇒ `2[x * "dy"/"dx" + y * 1]` = 0
∴ `"dy"/"dx" = - y/x`
⇒ m2 = `- y/x` ......[m2 = दूसरी स्पर्शरेखा का ढलान]
यदि दो स्पर्श रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,
तब m1 × m2 = – 1
⇒ `1/y xx (- y/x)` = – 1
⇒ `1/x` = 1
⇒ x = 1
अब 2x = y2 को हल करना ......[(i) से]
और 2xy = k .....[(ii) से]
समीकरण (ii) से
y = `"k"/(2x)`
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
2x = `("k"/(2x))^2`
⇒ 2x = `"k"^2/(4x^2)`
⇒ 8x3 = k2
⇒ 8(1)3 = k2
⇒ 8 = k2
अतः अभीष्ट स्थिति k2 = 8 है।
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