Question

यदि किसी घन तथा गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर है तो घन के एक कोर (edge) तथा गोले के व्यास का अनुपात उस समय क्या है जब उनके आयतन का योगफल निम्नतम है?

Answer 1

मान लीजिए x घन का किनारा है और r गोले की त्रिज्या है।

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6x²

तथा गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

∴ 6x² + 4πr² = K  ......(स्थिर)

⇒ r = `sqrt(("K" - 6x^2)/(4pi)`  .....(i)

घन का आयतन = x³ और गोले का आयतन = `3/4 pi"r"^3`

∴  उनके आयतन का योग (V) = घन का आयतन + गोले का आयतन

⇒ V = `x^3 + 4/3 pi"r"^3`

⇒ V = `x^3 + 4/3 pi xx (("K" - 6x^2)/(4pi))^(3/2)`

दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है

`"dV"/"dx" = 3x^2 + (4pi)/3 xx 3/2("K" - 6x^2)^(1/2) (- 12x) xx 1/((4pi)^(3/2)`

= `3x^2 + (2pi)/((4pi)^(3/2)) xx (-12x) ("K" - 6x^2)^(1/2)`

= `3x^2 + 1/(4pi^(1/2)) xx (-12x) ("K" - 6x^2)^(1/2)`

∴ `"dV"/"dx" = 3x^2 - (3x)/sqrt(pi) ("K" - 6x^2)^(1/2)`  ....(ii)

स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए, `"dV"/"dx"` = 0

∴ `3x^2 - (3x)/sqrt(pi) ("K" - 6x^2)^(1/2)` = 0

⇒ `3x[x - ("k" - 6x^2)^(1/2)/sqrt(pi)]` = 0

x ≠ 0

∴ `x - ("K" - 6x^2)^(1/2)/sqrt(pi)` = 0

⇒ x = `("K" - 6x^2)^(1/2)/sqrt(pi)`

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

x² = `("K" - 6x^2)/pi`

⇒ `pix^2 = "K" - 6x^2`

⇒ `pix^2 + 6x^2` = K

⇒ `x^2(pi + 6)` = K

⇒ x² = `"K"/(pi + 6)`

∴ x = `sqrt("K"/(pi + 6)`

अब K के मान को समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

`6x^2 + 4pir^2 = x^2(pi + 6)`

⇒ `6x^2 + 4pi"r"^2 = pix^2 + 6x^2`

⇒ `4pi"r"^2 = pi"r"^2`

⇒ 4r² = x²

∴ 2r = x

∴ x:2r = 1:1

अब अवकल समीकरण (ii) w.r.t x, हमारे पास है

`("d"^2"V")/("dx"^2) = 6x - 3/sqrt(pi) "d"/"dx" [x("K" - 6x^2)^(1/2)]`

= `6x - 3/sqrt(pi)[x * 1/(2sqrt("K" - 6x^2)) xx (-12x) + ("K" - 6x^2)^(1/2) * 1]`

= `6x - 3/sqrt(pi) [(-6x^2)/sqrt("K" - 6x^2) + sqrt("K" - 6x^2)]`

= `6x - 3/sqrt(pi) [(-6x^2 + "K" - 6x^2)/sqrt("K" - 6x^2)]`

= `6x + 3/sqrt(pi) [(12x^2 - "K")/sqrt("K" - 6x^2)]`

x = `sqrt("K"/(pi + 6)` लगाए।

= `6sqrt("K"/(pi + 6)) + 3/sqrt(pi)[((12"K")/(pi + 6) - "K")/sqrt("K" - (6"K")/(pi + 6))]`

= `6sqrt("K"/(pi + 6)) + 3/sqrt(pi) [(12"K" - pi"K" - 6"K")/sqrt((pi"K" + 6"K" - 6"K")/(pi + 6))]`

= `6sqrt("K"/(pi + 6)) + 3/sqrt(pi) [(6"K" - pi"K")/sqrt((pi"K")/(pi + 6))]`

= `6sqrt("K"/(pi + 6)) + 3/(pisqrt("K"))[(6"K" - pi"K") sqrt(pi + 6)] > 0`

तो यह निम्निष्ठ है।

इसलिए, आवश्यक अनुपात 1 : 1 है जब संयुक्त मात्रा न्यूनतम है।