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प्रश्न
यदि किसी घन तथा गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर है तो घन के एक कोर (edge) तथा गोले के व्यास का अनुपात उस समय क्या है जब उनके आयतन का योगफल निम्नतम है?
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उत्तर
मान लीजिए x घन का किनारा है और r गोले की त्रिज्या है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6x2
तथा गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2
∴ 6x2 + 4πr2 = K ......(स्थिर)
⇒ r = `sqrt(("K" - 6x^2)/(4pi)` .....(i)
घन का आयतन = x3 और गोले का आयतन = `3/4 pi"r"^3`
∴ उनके आयतन का योग (V) = घन का आयतन + गोले का आयतन
⇒ V = `x^3 + 4/3 pi"r"^3`
⇒ V = `x^3 + 4/3 pi xx (("K" - 6x^2)/(4pi))^(3/2)`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dV"/"dx" = 3x^2 + (4pi)/3 xx 3/2("K" - 6x^2)^(1/2) (- 12x) xx 1/((4pi)^(3/2)`
= `3x^2 + (2pi)/((4pi)^(3/2)) xx (-12x) ("K" - 6x^2)^(1/2)`
= `3x^2 + 1/(4pi^(1/2)) xx (-12x) ("K" - 6x^2)^(1/2)`
∴ `"dV"/"dx" = 3x^2 - (3x)/sqrt(pi) ("K" - 6x^2)^(1/2)` ....(ii)
स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए, `"dV"/"dx"` = 0
∴ `3x^2 - (3x)/sqrt(pi) ("K" - 6x^2)^(1/2)` = 0
⇒ `3x[x - ("k" - 6x^2)^(1/2)/sqrt(pi)]` = 0
x ≠ 0
∴ `x - ("K" - 6x^2)^(1/2)/sqrt(pi)` = 0
⇒ x = `("K" - 6x^2)^(1/2)/sqrt(pi)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
x2 = `("K" - 6x^2)/pi`
⇒ `pix^2 = "K" - 6x^2`
⇒ `pix^2 + 6x^2` = K
⇒ `x^2(pi + 6)` = K
⇒ x2 = `"K"/(pi + 6)`
∴ x = `sqrt("K"/(pi + 6)`
अब K के मान को समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है
`6x^2 + 4pir^2 = x^2(pi + 6)`
⇒ `6x^2 + 4pi"r"^2 = pix^2 + 6x^2`
⇒ `4pi"r"^2 = pi"r"^2`
⇒ 4r2 = x2
∴ 2r = x
∴ x:2r = 1:1
अब अवकल समीकरण (ii) w.r.t x, हमारे पास है
`("d"^2"V")/("dx"^2) = 6x - 3/sqrt(pi) "d"/"dx" [x("K" - 6x^2)^(1/2)]`
= `6x - 3/sqrt(pi)[x * 1/(2sqrt("K" - 6x^2)) xx (-12x) + ("K" - 6x^2)^(1/2) * 1]`
= `6x - 3/sqrt(pi) [(-6x^2)/sqrt("K" - 6x^2) + sqrt("K" - 6x^2)]`
= `6x - 3/sqrt(pi) [(-6x^2 + "K" - 6x^2)/sqrt("K" - 6x^2)]`
= `6x + 3/sqrt(pi) [(12x^2 - "K")/sqrt("K" - 6x^2)]`
x = `sqrt("K"/(pi + 6)` लगाए।
= `6sqrt("K"/(pi + 6)) + 3/sqrt(pi)[((12"K")/(pi + 6) - "K")/sqrt("K" - (6"K")/(pi + 6))]`
= `6sqrt("K"/(pi + 6)) + 3/sqrt(pi) [(12"K" - pi"K" - 6"K")/sqrt((pi"K" + 6"K" - 6"K")/(pi + 6))]`
= `6sqrt("K"/(pi + 6)) + 3/sqrt(pi) [(6"K" - pi"K")/sqrt((pi"K")/(pi + 6))]`
= `6sqrt("K"/(pi + 6)) + 3/(pisqrt("K"))[(6"K" - pi"K") sqrt(pi + 6)] > 0`
तो यह निम्निष्ठ है।
इसलिए, आवश्यक अनुपात 1 : 1 है जब संयुक्त मात्रा न्यूनतम है।
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